¿Cómo se calcula el Optimo de consumo en la curva de Indiferencia?

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Tenemos dos bienes x y y, con sus respectivos precios Px y Py. Y tenemos una función de utilidad U(x, y)

El óptimo de consumo se obtiene cuando la recta de la restricción presupuestaria es tangente a una curva de indiferencia. Para ello la pendiente de la recta de restricción presupuestaria debe ser la derivada de la curva de indiferencia

La recta de restricción es

x·Px + y·Py = C

y·Py = - x·Px + C

y = -(Px/Py)x + C/Py

la pendiente es -Px/Py

Y para calcular la pendiente de una curva de indeferencia

U(x,y) = k

derivamos implícitamente

Uy·y'+ Ux = 0

y' = - Ux / Uy

De donde

-Px/Py = -Ux/Uy

Px/Py = Ux/Uy

Donde en las P la x y y son meros subíndices, mientras que en la U significan derivadas parciales respecto de x y respecto de y

Y con este par de ecuaciones

x·Px + y·Py = C

Px/Py = Ux/Uy

Se pueden calcular x y y

Ejemplo:

Se tienen 10€ para comprar dos productos, el producto x cuesta 1€ y el producto B 2€

Su restricción presupuestaría es

x + 2y = 10

Su función de utilidad es

U(x,y) = x^2 + 2y^2

Ux = 2x

Uy = 4y

Luego las ecuaciones serán

x + 2y = 10

1/2 = 2x/4y

Y se resuelve este sistema

x + 2y = 10

2y=2x  ==> y=x

yendo a la primera

x+2x = 10

x = 10/3 = 3.3333...

y = 3.3333...

Y la utilidad máxima es

U(3.3333..., 3.3333...) = 3.3333^2 + 2 · 3.3333^2 = 33.3333...

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Y eso es todo.