Halle la elevación del globo en ese instante y la distancia del globo a cada observador
Dos personas se encuentran alejadas entre sí 5 km en una llanura, y un cierto instante, un globo aerostático atraviesa entre ambos. Cada individuo mide el ángulo de elevación con el que ve el globo y resulta 52 grados 35 min y 67 grados y 42 min respectivamente. Halle la elevación del globo en ese instante y la distancia del globo a cada observador.
Este ejercicio es de la junta de castilla y león en las pruebas de acceso a ciclos formativos de grado superior en el año 2010.
2 Respuestas
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La altura del globo se puede medir con cualquiera de los dos ángulos y será el seno del ángulo por la hipotenusa que es la visual haste el glogo.
Por otro lado la base de esos triángulos rectángulos será la hipotenusa por el coseno del ángulo.
Luego tendremos.
$$\begin{align}&hipot_1·sen(52º35')=hipot_2·sen(67º32')=h\\&\\&hipot_1=\frac{h}{sen(52º35')}\\&\\&hipot_2=\frac{h}{sen(67º42')}\\&\\&\text{Y la suma de las bases será}\\&\\&\frac{h}{sen(52º35')}·\cos(52º35')+\frac{h}{sen(67º42')}\cos(67º42')=5\\&\\&h·(cgt(52º35') +ctg(67º42'))=5\\&\\&h= \frac{5}{cgt(52º35') +ctg(67º42')}\\&\\&\text{Las calculadoras no tienen cotangente, pero}\\&\text{la cotangente es 1/tangente}\\&\\&h=\frac {5}{\frac 1{tg(52º35')}+\frac 1{tg(67º42')}}=4.254780876 km\\&\\&\text{Esa es la elevación del globo }4.25470876km\\&\\&\text{Y la distancia es }\\&d_1=\frac{h}{sen(52º35')}= 5.357060939km\\&\\&d_2=\frac{h}{sen(67º42')}= 4.59864253km\end{align}$$·
Simplemente fíjate en el dibujo que hizo Gustavo que yo creo es exacto y verás como las distancias que dice no se corresponden con él, estas si están bien calculadas.
Por cierto, ahora que lo veo este es un problema ideal para aplicar el teorema del seno. A lo mejor querían que lo resolvieses usándolo.
El teorema del seno dice que el cociente entre lados y los senos de los ángulos opuestos es constante.
$$\begin{align}&\frac{a}{sen A}=\frac{b}{senB}=\frac {c}{sen C}\end{align}$$Usando las letras del dibujo de Gustavo calculamos primero el ángulo C que es la llave que lo abrirá todo
C = 180º - (52º35' + 67º42') = 180º - 120º17' = 59º43'
con lo cual
$$\begin{align}&\frac{a}{sen\, 52º\,35'}=\frac{b}{sen\,67º\,42'}=\frac {5}{sen 59º\,43'}\\&\\&a=\frac{5 \,sen\, 52º\,35'}{sen 59º\,43'}=4.598720475\,km\\&\\&b=\frac{5 \,sen\, 67º\,42'}{sen 59º\,43'}=5.357060939\,km\\&\\&\text {y la altura es}\\&\\&h=b·sen A= 5.357060939· sen(52º35')=\\&\\&4·254780876\,km\end{align}$$Y yo creo que así ha quedado resuelto más fácil y más elegante.
No olvides puntuar.
¡Gracias!
La respuesta está perfecta, resuelta incluso de de dos formas, yo creo que podrías valorarla con excelente sin ningún problema, ya que en caso contrario pocas o ninguna gana habrá de contestarte otras. Puedes cambiar la puntuación si quieres.
Primero hagamos un dibujo para entender lo que preguntan
Sabemos que sen angulo = Opuesto / Adyacente, así que creo que tenemos todo lo que necesitamos, veamos
$$\begin{align}&a+b = 5\\&sen 52°35' = {h \over a} \rightarrow a = {h \over sen 52°35'}\\&sen 67°42' = {h \over b} \rightarrow b = {h \over sen 67°42'}\\&(sumando\ ambas\ expresiones)\\&a+b = {h \over sen 52°35'}+ {h \over sen 67°42'}\\&(reemplazando\ lo\ conocido\ (y\ factor\ comun\ h))\\&5 = h({1 \over 0,7942}+ {1 \over 0,9252})\\&h = 2,14 Km\\&a= {h \over sen 52°35'}= {2,14 \over 0,7942}=2,69 Km\\&b = 5 - a = 5-2,69 = 2,31 Km\\&\end{align}$$
Profe, d1 es imposible ya que d1+d2 = 5 (pero d1>5). - Anónimo
Las distancias al globo son AC y BC de tu dibujo, suman más de 5 - Valero Angel Serrano Mercadal
puf...lo otro que calculé yo fueron las distancias a, b, las proyecciones del globo sobre la horizontal...eso por no leer lo que preguntan :) - Anónimo
No sé lo que hiciste, pero fíjate que la altura ya la calculaste mal. Saludos - Valero Angel Serrano Mercadal