Determinar el área de la región limitada por las curvas dadas: x=ycuadrada+4y, x=0 realizando la gráfica y la integral

VEamos en que puntos se igualan las funciones para ver que región delimitan

$$\begin{align}&x = y^2+4y = y(y+4)\\&x = 0\\&(igualando....)\\&0=y(y+4)\\&Luego\\&y_1=0 \lor y_2 = -4\\&O\ sea\ que\ buscamos\\&\int_{-4}^0 (y^2+4y - 0) dy = {y^3 \over 3}+ 4 {y^2 \over 2} \Bigg|_{-4}^0={y^3 \over 3}+ 2y^2  \Bigg|_{-4}^0=\\&0 - ({(-4)^3 \over 3}+2(-4)^2) = {64 \over 3}-32 = -{32\over 3}\end{align}$$

Como dio negativo, en realidad lo que pasó es que yo hice x=y^2+4y menos x=0 y en realidad había que hacerlas al revés ya que la función x=0 es "mayor" en el rango seleccionado. 

Así que básicamente la respuesta está bien, solo que hay que invertir el signo y la respuesta es 32/3

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Primero haremos la gráfica, y mas que nada en este donde nos líasn dando la f(y) en lugar de la f(x)

No merece la pena transformar en funciones de x que no serían fáciles, integraremos respecto de y. El dibujo nos dice los puntos de corte, pero se pueden calcular fácilemente

x= y^2+4y

x=0

luego

y^2+4y=0

y(y+4) = 0

y los punto de corte son

y=0

y+4=0 ==> y=-4

Mirando con respecto al eje Y la función superior es x=0 y la inferior la otra, luego el área se calculará como

$$\begin{align}&A=\int_{-4}^0 \left(0-(y^2+4y)\right)dy=\\&\\&-\int_{-4}^0 \left(y^2+4y\right)dy=\\&\\&-\left[ \frac{y^3}{3}+2y^2 \right]_{-4}^{0}=-\left(0-\frac{(-4)^3}{3}-2(-4)^2\right)=\\&\\&-\frac{64}{3}+32 = \frac{-64+96}{3}=\frac{32}{3}\end{align}$$

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Y eso es todo.

¡Gracias!