Cálculo:Resolver el siguiente ejercicio: calcular el limite

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Este límite se puede hacer de dos formas, yo antes lo hacía de una que puede que sea menos comprensible así que lo voy a hacer de la forma más mecánica. Multiplica numerador y denominador por el numerador con signo + en el medio

$$\begin{align}&\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x- \sqrt{x_0}}{x-x_0}=\\&\\&\lim_{x\to x_0}\frac{(\sqrt x- \sqrt{x_0})(\sqrt x+ \sqrt{x_0})}{(x-x_0)(\sqrt x+ \sqrt{x_0})}=\\&\\&\text{lo de arriba es un producto notable}\\&\\&=\lim_{x\to x_0}\frac{x-x_0}{(x-x_0)(\sqrt x+ \sqrt{x_0})}=\\&\\&\text{simplificamos}\quad x-x_0\\&\\&=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\sqrt x+ \sqrt{x_0}}=\\&\\&\frac{1}{\sqrt{x_0}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2 \sqrt{x_0}}\end{align}$$

Y la otra forma anterior que lo hacía es:

Conociendo el producto notable

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

$$\begin{align}&\text{Si hacemos }a=\sqrt x, \quad b=\sqrt {x_0}\\&\text{tenemos}\\&\\&x-x_0=(\sqrt x + \sqrt{x_0})(\sqrt x -\sqrt{x_0})\\&\\&luego\\&\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x- \sqrt{x_0}}{x-x_0}=\\&\\&\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x- \sqrt{x_0}}{(\sqrt x+ \sqrt{x_0})(\sqrt x- \sqrt{x_0})}=\\&\\&\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\sqrt x+ \sqrt{x_0}}=\\&\\&\frac{1}{\sqrt {x_0}+ \sqrt{x_0}}=\frac{1}{2 \sqrt {x_0}}\end{align}$$

Aun estás a tiempo de elegir esta segunda forma si te gusta más.

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Y eso es todo.