Determina la derivada de las funciones implícitas y de orden superior, además de realizar las demostraciones de las funciones

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Hay que hacer uso del teorema de la función inversa, algo complicado pero que para funciones de R en R viene a decir que si una función es derivable en un entorno de un punto y la derivada es distinta de 0 en ese entorno, entonces esa función tiene inversa en un entorno de ese punto. Aparte habla de la relación entre las derivadas de la función original y la inversa pero eso no nos interesa en este ejercicio.

Luego lo único que hay que comprobar es que para todo punto de (-1,1) hay un entorno en el cual es derivable con derivada distinta de 0.

Veamos cuál es la derivada de la tangente hiperbólica.

$$\begin{align}&th\,x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\\&\\&\\&th'(x)=\frac{(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}=\\&\\&\frac{(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2}{(e^x+e^{-x})^2}=\\&\\&\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2-e^{2x}-e^{-2x}+2}{(e^x+e^{-x})^2}=\\&\\&\frac{4}{(e^x+e^{-x})^2}\end{align}$$

y las funciones e^x y e^(-x)  son estrictamente positivas siempre, luego su suma es estrictamente positiva con lo cual el denominador nunca es 0 y existe la derivada en cualquier punto.  Ademas es distinta de cero ya que el numerador es 4.

Luegopara cualquier punto de (-1,1) se puede hallar un entorno donde existe la derivada y es distinta de cero luego la función es invertible en todo el entorno.

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Y eso eso es todo.