Considerando la función, f(x)=(2x-1)^2 (9-x). Cual sería de derivada de la función

María Teresa!

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Lo de más simplificada posible es algo muy relativo. Depende de para qué lo queremos. Muchas veces la derivada se usa para calcular sus puntos críticos, y entonces es mejor tenerla descompuesta en factores que en suma de monomios, luego:

$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2 (9-x)\\&\\&f'(x) =2(2x-1)·2·(9-x)+(2x-1)^2(-1)\\&\\&\text{hacemos el primer retoque}\\&\\&f'(x)=4(2x-1)(9-x) - (2x-1)^2\\&\\&\text{Y sacamos factor común}\\&\\&f'(x)=(2x-1)[4(9-x)-(2x-1)]\\&\\&f'(x)=(2x-1)(36-4x-2x+1)\\&\\&f'(x)=(2x-1)(37-6x)\end{align}$$

De esta forma las raices se calculan de forma inmediata

2x-1= 0

x_1=1/2

37-6x = 0

x_2 = 37/6

Y en forma normal de polinomio será más sencilla para calcular la derivada segunda

$$\begin{align}&f'(x)=(2x-1)(37-6x)=\\&\\&74x-12x^2-37+6x=\\&\\&-12x^2+80x-37\end{align}$$

Y eso es todo.

cuales serían los valores críticos de esta función

Precisamente los calculé aunque no lo pedías porque ya se que el ejercicio tiene ese objetivo.

Te hablaba de que calcular la derivada descompuesta en factores era muy bueno para calcular los puntos críticos, que son los que la hacen cero, y los calculaba cuando calculaba las raíces de cada uno de los factores, cuando decía

De esta forma las raices se calculan de forma inmediata

2x-1= 0

x_1=1/2

37-6x = 0

x_2 = 37/6

Esos dos son los puntos críticos

x_1= 1/2

x_2= 37/6

Y eso es todo.

Cuando se consideran valores críticos máximos o mínimos

cuando se consideran que son valores críticos máximos o mínimos

de esta misma función cuales son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.