¿Cómo queda resuelta la siguiente integral?
Aplicar los procedimientos necesarios para determinar los valores de la integral. Exponer el procedimiento de integración a detalle.
2 respuestas
Harael Osuna!
1.-
$$\begin{align}&\int_0^2 3^{1-x} dx= \left[ - \frac{3^{1-x}}{ln3} \right]_0^2=\\&\\&\frac{-1}{ln3} \left[ 3^{1-x} \right]_0^2=\\&\\&\frac{-1}{ln3}(3^{-1}-3)=\frac{-1}{ln3}(\frac{1}{3}-3)=\frac{8}{3ln3}\\&\\&2.-\\&\\&\int_{-4}^0 \frac{1}{x+5}=[ln|x+5|]_{-4}^0=ln5-ln1=ln5\end{align}$$
·
Son integrales demasiado poco complicadas para hacer el cambio de variable. Y si hacemos el cambio de variables con cambio de límites de integración es demasiado, luego las resolveremos por lógica.
$$\begin{align}&\int_0^2 3^{1-x} dx= -\frac{1}{ln3}\int 3^{1-x}ln3·(-1)dx=\\&\\&\text{Y lo de dentro es una derivada con todos sus pasos}\\&\\&\left. - \frac{1}{ln3}·3^{1-x} \right|_0^2=\\&\\&-\frac{1}{ln3} \left(3^{1-2}-3^{1-0}\right)=-\frac{1}{ln3} \left(\frac 13-3\right)=\\&\\&-\frac{1}{ln3}·\left(-\frac 83\right)=\frac 8{3ln3} \quadó\quad \frac{8}{ln\, 27}\\&\\&\\&\\&\\&\\&\\&\left.\int_{-4}^0 \frac{1}{x+5}=ln|x+5|\right|_{-4}^0=ln5-ln1=ln5\end{align}$$Y eso es todo.
Saludos Valero, no se supone que como son integrales definidas su solución debe dar un valor exacto y constante, ¿Cuál es el valor exacto de las integrales? Podría explicármelo (porque estoy un poco confundido ya que apenas estoy aprendiendo a integrar)
Ok ya entendí.
Sí, pues eso es lo que hemos hecho. En matemáticas sueriores se tiene que dar el resultado exacto, y hay números que tienen infinitos decimales por lo que no podríamos dar el resultado exacto si excribieramos 2, 5, 10 o incluso un millón de decimales. Por eso toda expresión que no tenga un resultado decimal exacto debe dejarse expresada de forma exacta.
Así ln5 es el logaritmo neperiano de 5. El que necesite saber cuanto vale eso tomará la calculadora
ln5=1.6094379124341...
Y tomará los decimales que a él le sean necesarios.
Pero puede que es ln5 sea un resultado intermedio de una operación que luego continua con
e^(ln5) = 5
Si en vez de haber puesto ln5 hubieramos puesto 1.6094 habríamos tenido
e^(1.6094) = 4.999810441422834
Y habríamos cometido un error.
Luego los números que no tengan representación decimal exacta, como pi, e, raíz de 2, sen 60º, y muchísimos más tienen que dejarse con su representación en lugar de sacar unos poquitillos decimales.
Y en matemáticas también son preferibles los números racionales a los decimales aunque sean exactos, se prefiere 2/5 que 0.4