¿Análisis marginal y derivadas de las siguientes actividades?

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$$\begin{align}&f(x)=(2x-1)^2(9-x)\\&\\&f'(x) = 2·2(2x-1)(9-x)-(2x-1)^2\\&\\&f'(x)=(2x-1)(36-4x-2x+1)\\&\\&f'(x)=(2x-1)(37-6x)\end{align}$$

Y esta es la forma más simplificada y mejor, porque lo siguiente que te van a pedir son los ceros de la derivada y fíjate que de esta forma ya los tienes medio resueltos

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b)

f'(x) = 0 ==> (2x-1) = 0   ó  (37-6x)=0

Luego los ceros son

2x-1=0 ==> x= 1/2

37-6x=0  ==> x = 37/6

Esos son los puntos críticos.

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Retorno al punto a)

Pero si el profesor quiere que tenga forma de suma de monomios se hace y queda

y' = (2x-1)(37-6x) = 74x - 12x^2 - 37 +6x = -12x^2 + 80x - 37

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c)

Y esto sirve para hacer mejor la derivada segunda

y''=-24x + 80

Entonces para el punto x=1/2

y''(1/2) = -12 + 80 = 68  luego es un mínimo

y''(37/6) = -4·37 + 80 = -68 es un máximo

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d) Podríamos deducir que la función f(x) es un polinomio de grado 3 cuyo coeficiente director (el de x^3) es negativo (no es necesario hacer todo el producto), con lo cual empieza valiendo infinito en el -infinito. De esta forma sabríamos que el primer intervalo (hasta la raíz menor) es decreciente, el segundo (entre las raíces) es creciente y el tercero (de la raíz mayor al infinito) es creciente.

Pero lo normal es que te hayan enseñado que se calcula el valor de la derivada primera en un punto de cada intervalo y el signo te indica si es creciente o decreciente

f'(x) = -12x^2 + 80x - 37 

(-oo, 1/2) ==> f(0) = -37  ==> decreciente

(1/2, 37/6)==>f(1) = -12+80-37 = 31 ==> creciente

(37/6, oo) ==>f(10) = -1200 +800 -37 = -437 ==> decreciente

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Y eso es todo.

¡Mil Gracias por todo el apoyo!

Solo me queda pendiente la quinta parte, donde tengo que determinar el costo marginal y costo promedio de la producción de 10 unidades, 

C(q)=q2 -24q2+350q+338

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Sí, pero mándala en una pregunta nueva, y yo u otro experto o varios te contestaremos. Ahora no olvides puntuar esta respuesta.

¡Gracias!