Solucion a Problemas de Variables Aleatorias ...

Lo normal es un problema por pregunta

Te contesto el 2º

a) Es una variable continua que sigue una ditribución Normal

b) La Normal

c)P(x>68)=0.5

Ya que es una distribución Normal y 68 meses es la vida media

0.5(25)=12.5

O sea más de 13

d)

$$\begin{align}&Tipificando \ la \ variable\\&z=\frac{x- \mu}{\sigma}=\frac{50-68}{5}=-3.6\\&\\&P(x<50)=P(z<-3.6)=P(z>3.6)=\\&1- \phi(3.6)=1-0.99984=0.00016\\&\\&0.00016(25)=0.004\end{align}$$

La función phi(3.6) es la lectura en la Tabla Normal (0,1)

Luego ninguna máquina dejará de funcionar antes de los 50 meses

Hola Lucas

Te voy a molestar con unas preguntas; no es porque dude del acertado resultado. Sino porque además de cubrir la demanda escolar, deseo razonar los datos y procedimientos para poder resolver mis problemas con fluidez y sin dudas. Ya que siempre me asaltan las dudas que frenan el método cuando los hago yo.

En el inciso c)  P(x>68)=0.5   

1. Es P, por ser la probabilidad o es solo por llamarla de alguna manera?
2. x es mayor que 68, (68 son los meses, verdad?) y el resultado es igual a 0.5, porque? Porque el problema indica que la desviación típica es 5?
3. De la tipificación, cual es el nombre de los símbolos  μ (?),  σ (Teta?) ∅ (es Z o conjunto vacio?), como puedo aprender a usarlos? Son por alguna fórmula general? Como se cuál es su valor dentro de un problema?
4. El valor de x es 50, de μ es 68, σ es 5verdad? Porque? Cuál es la relación con los datos del problema?
5. En el inciso c) P(x>68)=0.5 es x mayor que 68, y en la segunda parte de la tipificación,   x   es menor que 50, no entiendo… Son datos que “creo” no coinciden? O sí?

Disculpa por tanta pregunta… Solo que cuando leo información al respecto, usan términos que no puedo comprender, son muy rebuscados… Mil gracias, aun si no puedes contestar, tanta pregunta.

1) P(x) significa la probabilidad de la variable x, se le llama asi

2)La probabilidad de que la maquinaria dure más de 68 meses es 0.5, no es por la desviación típica, sino porque en la distribución Normal la probabilidad es el 50% por encima de la media y 50% por debajo, y en este caso la vida media es 68 meses

3) Μ es la media (68 en es caso)

Σ es la desviación típica (5 en este caso)

∅ Phi le llamo a la lectura de probabilidades en una tabla Normal (0,1)

5) Porque la curva Normal es simétrica y

P(z<-3.6)=P(z>3.6)

Y depende del tipo de Tablas de la Gaussiana que tengas, no salen valores negativos

La terminologia y los símbolos son los que se usan en La Normal

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Anonimo!

·

a) La variable a usar es la hipergeométrica. Es una variable algo rara de recordar la fórmula, por eso ayer no caí en ella y estaba pensando en la binomial pero sabía que no podía ser por que la binomial es siempre con reemplazo. Mientras que la hipergeométrica es sin reemplazo.

·

b)

La distribución que conviene usar por consiguiente es la hipergeométrica.

$$\begin{align}&P(X=x)=\frac{\binom dx\binom {N-d}{n-x}}{\binom Nn}\\&\\&\text{donde}\\&\\&\text{N = Tamaño de la población}\\&\text{n =  Tamaño de la muestra}\\&\text{d = Elementos de la población que cumplen lo deseado}\\&\text{x = Elementos de la muestra que cumplen lo deseado}\\&\\&\text{Luego nuestra variable hipergeométrica será:}\\&\\&\text{X=Televisores bien empaquetados en la muestra}\\&\\&\text{y su distribución}\\&\\&P(X=x)=\frac{\binom{270}{x}\binom{500-270}{4-x}}{\binom{500}{4}}\\&\\&P(X=x) = \frac{\binom{270}{x}\binom{230}{4-x}}{2573031125}\\&\end{align}$$

Y a partir de aquí ya es cuestion de hacer cuentas con la fórmula esa

·

c)

Es la probabilidad de X=0

$$\begin{align}&P(X=0) = \frac{\binom{270}{0}\binom{230}{4-0}}{2573031125}=\\&\\&\frac{1·\frac{230·229·228·227}{24}}{2573031125}=\frac{113582855}{2573031125}\approx\\&\\&0.04414359931227\end{align}$$

d)

Es la probabilidad de X=4

$$\begin{align}&P(X=4) = \frac{\binom{270}{4}\binom{230}{4-4}}{2573031125}=\\&\\&\frac{\frac{270·269·268·267}{24}·1}{2573031125}=\\&\\&\frac{216546345}{2573031125}\approx\\&\\&0.084160017691197\end{align}$$

e)

Es probabilidad de X=3

$$\begin{align}&P(X=3) = \frac{\binom{270}{3}\binom{230}{4-3}}{2573031125}=\\&\\&\frac{\frac{270·269·268}{6}·230}{2573031125}=\\&\\&\frac{3244140·230}{2573031125}=\\&\\&\frac{746152200}{2573031125}\approx\\&\\&0.28998957406705\end{align}$$

f)

Lo rechazará si x=0, 1 o 2

Como ya tenemos calculadas las probabilidades de 3 y 4 la que nos piden es

1 - P(3) - P(4) =

1 - 0.28998957406705 - 0.084160017691197 = 0.62585040824175

Esa es la probabilidad de que el cargamento no sea aceptado.

·

Y eso es todo.

Hola Ángel!

Primeramente te agradezco el tiempo e interes en contestar mi pregunta. Me permito aprender en cada lección y aunque no haya podido desarrollarla yo, quisiera saber si, ademas pudieras apoyarme con estas dudas. Deseo razonar el procedimiento para asimilarlo. En caso de no poder de cualquier forma te agradezco la ayuda.

Mis inquietudes son las siguientes:

 b)

Si damos valores a cada término, ¿Serian así?

Donde:

N = Tamaño de la población (500)

n = Tamaño de la muestra (4)

d = Elementos de población que cumplen lo deseado (270)

x = Elementos de la muestra que cumplen lo deseado (0, 4, 3)

De “X” su valor seria 4? O se invierten valores de x con X?

En la fórmula… ¿De dónde salió 2573031125?

c)

De donde salió el 1?

De donde salió el 24?

1∙  (230∙229∙228∙227)/24

e)

En el inciso c) y d) se usa el 1 y el 24 [1∙  (230∙229∙228∙227)/24] ¿Porque en el inciso e) cambia a   230 y el 6 [230∙  (270∙269∙268)/6]?

 f)

Aquí se restó el valor de P3 – P4, si se calcula la P2 y el P1 y son sumados ¿Estaría correcto? 

Te reitero mi agradecimiento!

X con mayúscula es una variable aleatoria hipergeométrica. Puede tomar los valores

{0,1,2,3,4} cada un de ellos con distinta probabilidad que es la que se calcula dando a x minúscula el valor correspondiente en la fórmula.

·

2573031125 es el número combinatorio 500 sobre 4, se calcula como

500·499·498·497/24 = 2573031125

que es mucho más simplificado que la fórmula que te suelen enseñar de

500! / [4!·(500-4)!]

Y el resultado es el mismo.

·

Los 1 salen de un numero combinatorio n sobre 0

·

El 24 es 4!

Un numero combinatorio n sobre 4 es

n(n-1)(n-2)(n-3) / 4! = n(n-1)(n-2)(n-3) / 24

·

En el inciso e tienes que calcular el número combinatorio 230 sobre 3, la forma de calculalarlo rápidamente es

230·229·228 / 3! = 230·229·228 / 6

En general un número combinatorio n sobre 3 se calcula

n(n-1)(n-2) / 3! = n(n-1)(n-2) / 6

·

f) La otra forma de calcularlo es sumar P(0)+P(1)+P(2) pero te va a lleva mucho más trabajo porque aun no has calculado P(1) y P(2)

Y eso es todo.

Muchisimas gracias!!! Me acabas de iluminar!!! Tengo 2 horas en la solución de 1 problema donde tengo exponente de -45[45!/ 15!]  y no me alcánzan los número en la calculadora, y estoy intentando hacer el cálculo en Excel :-( ... Con este método directo lo intentaré!!! Espero lograrlo!!

Buen dia y  gracias nuevamente!!