Como determinar el volumen dibujando su solido

Diosa Lara!

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No puedo dibujar figuras en tres dimensiones. Pero hay problemas que se pueden solucionar sin ello. En este calculas el dominio en el plano XY y luego sobre ese dominio se integra la función z.

El dominio en el plan xy te lo dan las funciones

x=Y es la típica línea diagonal que pasa por el origen y corta el primer y tercer cuadrante.

La función x=y^2 es la parábola tumbada, tiene forma de C.

La superficie comprendida entre las dos funciones es como un gajo de naranja (más o menos).

Y el dominio será

x entre 0 y 1

Y para calcular el dominio en y tenemos que tener las dos funciones en funcion de x

y=x

y=sqrt(x)

Luego los límites en y son x y sqrt(x)

Y para los límites en z debemos despejar la función z

x+z^2=1

z = sqrt(1-x)

Como nos dicen en el primer octante es la parte superior del plano z=0, luego los límites en z son 0 y sqrt(1-x)

Los límites en z no suelen ponerse siempre, ya directamente se pone la función superior menos la inferior y la integral es doble en vez de triple

$$\begin{align}&V=\int_0^1\int_x^{\sqrt x}\sqrt{1-x}\;dy\,dx=\\&\\&\int_0^1 \sqrt{1-x}\int_x^{\sqrt x}dydx=\\&\\&\int_0^1 \sqrt{1-x}·y|_x^{\sqrt x}dx=\\&\\&\int_0^1 \sqrt{1-x}(\sqrt x-x)dx\end{align}$$

Yo diría que se han pasado un poco con esta integral.  Intenta terminarla y si no puedes ya me lo dirás, pero lleva su tiempo.