Resolver por análisis de algoritmos
Comprueba con inducción matemática si:
X³ – x es divisible entre 3, siempre que x sea un entero positivo
2 Respuestas
·
Para demostrar una hipótesis por inducción se deben verificar estas dos condiciones
1) Que la hipótesis se cumple para n=1
2) Que si la hipótesis se cumple para n se deduice que se cumple para n+1
·
1)
Comprobamos que el número 1 cumple la hipótesis
1^3 - 1 = 1-1 = 0 que es múltiplo de 3
·
2)
Y ahora suponiendo que se cumple para n debemos comprobar que se cumple para n+1
(n+1)^3 - (n+1) = n^3 + 3n^2+ 3n + 1 - n - 1 =
n^3 + 3n^2 + 3n - n=
(n^3-n) + 3(n^2+n) =
Como para n se cumple lo que he encerrado en el primer paréntesis es un multiplo de 3, por ejemplo 3k
= 3k + 3(n^2+n) =
3(k+n^2+n)
Luego (n+1)^3 - (n+1) es un múltiplo de 3 y se cumplen las dos condiciones de la inducción, luego la hipótesis es cierta.
·
Y eso es todo.
Antonio Martinez!
$$\begin{align}&Para \ x=1 \Rightarrow1^3-1=0 \ divisible \ por \ 1\\&\\&Para \ x=2 \Rightarrow2^3-2=6 \ divisible \ por \ 2\\&\\&Si \ cierto \ para \ x\\&x^3-x=kx\\&\Rightarrow\\&\\&(x+1)^3-(x+1)=x^3+3x^2+3x+1-x-1=\\&=(x^3-x)3x(x+1)=\\&=kx·3x(x+1)=C(x+1)\\&c.q.d.\end{align}$$Luego se cumple para x+1
Donde pone
x^3-x=kx
es
$$\begin{align}&x^3-x=3k\\&Luego\\&\\&(x+1)^3-(x+1)=.....=kx·3x(x+1)=3C\\&divisible \ por \ 3\\&c.q.d.\end{align}$$
$$\begin{align}&Recapitulando:\\&x=1\\&1^3-1=0 \ divisible \ por \ 3\\&\\&x=2\\&2^3-2=6=2·3 \ (divisible \ por \ 3)\\&\\&Si \ se \ cumple \ para \ x \Rightarrow x^3-x=3k\\&\\&Para \ x+1:\\&(x+1)^3-(x+1)=x^3+3x^2+3x+1-x-1=\\&=(x^3-x)+3x(x+1)=\\&=3k+3x(x+1)\\&\end{align}$$que es múltiplo de 3, pues los dos sumandos lo son
Ahora si