Ejercicios de ecuaciones exponenciales matemática

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Los exponentes son muy delicados si no se pueden escribir al altura distinta. Por lo tanto siempre que haya un exponente compuesto de más de un carácter hay que encerrarlo entre paréntesis para saber cual es su longitud, si no es imposible saberlo

1)

Fíjate que ya con el primer ejercicio no sé lo que quieres decir porque se me ocurren estas dos interpretaciones

$$\begin{align}&a)\quad 3^2·x = 27\\&b)\quad 3^{2x}= 27\end{align}$$

Tal como lo has escrito es la opción a, pero me huele que querías decir la opción b, por eso voy a resolver la b.

La mecánica consiste en poner todo en la misma base, de forma que quede una ecuación con la base elevada a un exponente = la base elevada a otro exponente. Entonces igualamos los exponentes y resolvemos.

$$\begin{align}&3^{2x}=27\\&\\&3^{2x} = 3^3\\&\\&2x = 3\\&\\&x= \frac 32\end{align}$$

2)

$$\begin{align}&\text{Has escrito}\\&\\&9^5x-1=81^x+2\\&\\&\text{pero voy a suponer que querías poner}\\&\\&9^{5x-1}=81^{x+2}\\&\\&9^{5x+1}= (9^2)^{x+2}\\&\\&9^{5x+1}= 9^{2(x+2)}\\&\\&9^{5x+1}= 9^{2x+4}\\&\\&5x+1=2x+4\\&\\&3x= 3\\&\\&x=1\end{align}$$

3)

$$\begin{align}&\text{Supondré que es}\\&\\&(1/3)^{5x}=243\\&\\&(3^{-1})^{5x} = 3^{5}\\&\\&3^{-5x}= 3^5\\&\\&-5x = 5\\&\\&x= -1\end{align}$$

4)

$$\begin{align}&8^{3x-5}= \frac 1{16}\\&\\&(2^3)^{3x-5}= \frac {1}{2^4}\\&\\&2^{2(3x-5)}=2^{-4}\\&\\&2(3x-5) = -4\\&\\&3x-5 = -2\\&\\&3x = 3\\&\\&x= 1\end{align}$$

5)

$$\begin{align}&\left(\frac 15\right)^{x^2}=\left(\frac{1}{25}  \right)^8\\&\\&\left(\frac 15\right)^{x^2} =\left(\left(\frac{1}{5}  \right)^2\right)^8\\&\\&\left(\frac 15\right)^{x^2} = \left(\frac{1}{5}  \right)^{2\,·\,8}\\&\\&x^2=2·8\\&\\&x^2 = 16\\&\\&x = \pm4\end{align}$$