Tasa de cambio y criterio de la primera derivada
Usted como fabricante de cierto producto ha determinado que el costo C de producirlo esta dado por la expresión
$$\begin{align}&c(q)=0.05q^2+5q+500\end{align}$$Donde C esta en miles de pesos y (q) en unidades.
- a) Calcula el costo de producir 12 piezas
- b) Determina la función de costo promedio y determine su valor cuando se fabrican 12 piezas.
- c) Determina la función de costo marginal
- d) calcula la cantidad de unidades que se deben fabricar para que el costo promedio sea mínimo. Determine el valor de dicho costo promedio mínimo.
- e) Indica si la función de costo promedio es creciente o decreciente en el rango de producción de 10 a 25 piezas.
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Respuesta de Lucas m
2
Jorge Mendez!
1.-
$$\begin{align}&C(12)=0,05·12^2+5·12+500=567,2\\&\\&2.- Costo \ promedio\\&CP(q)=\frac{C(q)}{q}=\frac{0,05q^2+5q+500}{q}=0,05q+5+\frac{500}{q}\\&\\&CP(12)=0,05(12)+5+\frac{500}{12}=47,27\\&\\&3.- Costo \ Marginal \ se \ obtiene \ con \ la \ derivada\\&C'(q)=0,1q+5\\&\\&4.-Costo \ promedio \ minimo\\&Igualando \ su \ derivada \ a \ 0\\&\\&CP'(q)=0\\&CP'(q)=0,05-\frac{500}{q^2}=0\\&0,05=\frac{500}{q^2}\\&q^2=\frac{500}{0,05}=10000\\&q=\sqrt{10000}=100\\&\\&CP(100)=0,05(100)+5+\frac{500}{100}=5+5+5=15\\&\\&\\&\end{align}$$5.- Si el mínimo está en q=100, a la izquierda es decreciente.
El intervalo 10 a 25 está a la izquierda.
También puedes estudiar el signo de la primera derivada en un punto de ese intervalo:
$$\begin{align}&CP'(20)=0,05-\frac{500}{400}=-1,2\end{align}$$el signo negativo indica que es decreciente.
Si estudias el signo de un valor a la derecha del 100:
$$\begin{align}&CP'(510)=0,05-\frac{500}{110^2}>0\end{align}$$Luego es creciente a la derecha de q=100
Luego queda demostrado que en q=100 está el mínimo
