Problema de series convergentes...analisis matematico!
Ofrezco una disculpa por los errores en el enunciado que habia mandado antes....corregido lo vuelvo a enviar esperando me pueda apoyar, muchas gracias anticipadas!
Pruebe que si a_1≥⋯≥a_n≥⋯y ∑a_n converge, entonces lim(n→∞) na_n=0
1 Respuesta
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Es que esto no sé si se resolverá mediante algún teorema que hayáis dado en el curso.
Sabemos que si una serie converge entonces el término general de la sucesión tiende a 0.
Pero el término general de la sucesión n·a_n en el infinito será un infinito multiplicado por un 0 y eso es una indeterminación.
Supongamos que
lim(n→∞) n·a_n=k>0
existirá un m a partir del cual todos los términos de n·a_n serán mayores que k/2
n·a_n > k/2 = c
puesto de otra forma
a_n / (1/n) > c
lim(n→∞) [a_n / (1/n)] > c > 0
Entoces usamos el criterio de comparación del cociente de dos series positivas a_n y b_n
Este criterio dice
Sea L = lim(n→∞) (a_n / b_n)
1) Si L=0 y la serie ∑b_n converge entonces ∑a_n converge
2) Si L=+∞ u la serie ∑b_n diverge entonces ∑a_n diverge
3) Si 0<L<+∞ entonces las series ∑a_n y ∑b_n comparten la misma condición, ambas covergen o ambas divergen
En este caso b_n = 1/n
Y sobre esa serie sabemos que es divergente, es algo que por fuerza te han tenido que enseñar.
Entonces, el limite sabemos que es positivo ya que era mayor que cierto c
Si el límite es infinito aplicando el criterio 2) tendremos que ∑a_n diverge. Eso es absurdo ya que nos dicen que converge
Y si el límite es finito por el criterio 3) también tendremos que ∑a_n diverge, absurdo de nuevo.
Luego la hipótesis de que
lim(n→∞) n·a_n=k>0
es falsa y debe cumplirse
lim(n→∞) n·a_n=0
Ya que ese límite no puede ser negativo, la serie es producto de dos factores positivos.
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Y eso es todo.
