Ejercicio de Límites al infinito

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Multiplicaremos y dividiremos por eso mismo con signo + en el medio

$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty} \sqrt{x^2+4x}-x=\\ &\\ &\lim_{x\to\infty} \frac{(\sqrt{x^2+4x}-x)(\sqrt{x^2+4x}+x)}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\\ &\\ &\lim_{x\to\infty} \frac{x^2+4x-x^2}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\\ &\\ &\lim_{x\to\infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}=\\ &\\ &\text{dividimos numerador y denominador entre x}\\ &\\ &=\lim_{x\to\infty} \frac{4}{\frac{\sqrt{x^2+4x}}{x}+1}=\\ &\\ &\lim_{x\to\infty} \frac{4}{\sqrt{\frac{x^2+4x}{x^2}}+1}=\\ &\\ &\lim_{x\to\infty} \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}}+1}=\frac 4 {1+1}= 2\end{align}$$

Y eso es todo.