Números naturales,divisibilidad, múltiplos, ¿Cómo demostrar?
Demostrar que todos los números naturales excepto un número finito se pueden expresar como una suma
de un múltiplo de 3 y un múltiplo de 11.
1 respuesta
Lucas mmm!
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Tomemos el número n y le restamos el mayor múltiplo de 11 que se pueda
n = 11k + m
con 0 <= k < =10
Si m es múltiplo de 3 ya está, si no lo es tomemos k-1 en lugar de k
n = 11(k-1) + m + 11
Si m+11 es mútiplo de 3 ya está y si no tomamos k-2
n = 11(k-2) + m + 22
Y obligatoriamente m+22 será multiplo de 3 si no lo fueron los anteiriores ya que
Tenemos los números
m
m+11 que es congruente con m+2 (mod 3)
m+ 22 que es congruente con m+1 (mod 3)
Y uno de los 3 {m, m+1, m+2} es congruente con 0 (mod 3)
luego uno de los 3
{m, m+11, m+22} es múltiplo de 3
Y para todo número mayor o igual que 22 podremos restar 11 o 22 y se podrá expresar como suma de un múltiplo de 11 y otro de 3. Téngase en cuenta que el multiplo de 3 o el de 11 pueden ser el 0.
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Y eso es todo.
Muchas ¡Gracias!
Un saludo!
Había un fallo en la tercera línea, es:
n = 11k + m
con 0 <= m< =10
