Sea Φ:R^2×R^2→R, dada por Φ((x,y),(a,b))=xa-xb-ya+γ yb

Omar Salcedo!

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No usaré la letra gamma porque no se puede escribir con el teclado y es prácticamente indistinguible de la y. Luego voy a usar la letra k.

Para que la función theta sea un producto escalar debe cumplir una serie de propiedades.

La primera es que la función de un elemento consigo mismo debe ser no negativa.

Φ((x,y), (x,y)) = x^2 - xy - yx +ky^2 = x^2 - 2xy + ky^2 =

vamos a entresacar un cuadrado perfecto que está bastante visible

= x^2 - 2xy + y^2 + (k-1)y^2 =

(x-y)^2 + (k-1)y^2 >= 0

si tomamos un elemento donde x=y tendremos

0^2 + (k-1)y^2 >= 0

(k-1)y^2 >=0

y para cumplirse eso debe ser k>=1

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La segunda es que Φ((x,y),(x,y))=0 si y solo si (x,y) = (0,0)

De izquierda a derecha

Φ((x,y),(x,y))=0  ==>

(x-y)^2 + (k-1)y^2 = 0

al ser dos términos no negativos deben ser 0 los dos para sumar 0

(x-y)^2 = 0

x-y=0

x=y

y el segundo

(k-1)y^2 =0

Aquí para asegurar que y=0 debe ser (k-1) distinto de 0

Luego hacemos una rebaja a los valores de k y la condición es

k >1

asi se deduce

(k-1)y^2 = 0 ==> y=0

con lo cual x=y=0

Y de derecha a izquierda

si (x,y)=(0,0)

Φ((0,0),(0,0))= 0·0 - 0·0 - 0·0 + k·0·0 = 0

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Luego ya hemos concretado que debe ser k>1

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Y las propiedades conmutativa y lineales del producto escalar puedes verificar que se cumplen, no cuesta mucho. Si no puedes me lo dices.

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Y eso es todo.