Resolver el siguiente ejercicio de lim

Fernando López!

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Si evaluamos la función en x=4 nos va a dar una indeterminación del tipo 0/0

Para poder resolverla debemos conocer como factorizar los expresiones del tipo

a^N - b^n

Ya conocemos que

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

pues existe una fórmula llamada ciclotómica que dice

$$\begin{align}&a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+···+ab^{n-2}+b^{n-1})\\ &\\ &\text {que para n=3 es}\\ &\\ &a^3 - b^3 =(a-b)(a^2+ab+b^2)\\ &\\ &\text{Aplicando esto al límite tendremos}\\ &\\ &\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt x -2}{x^3-64}=\\ &\\ &\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt x -2}{(x-4)(x^2+4x+16)}=\\ &\\ &\text{Y aplicandola a x-4 como diferencia de cuadrados nos da}\\ &\\ &\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt x -2}{(\sqrt x-2)(\sqrt x+2)(x^2+4x+16)}=\\ &\\ &\lim_{x\to 4} \frac{1}{(\sqrt x+2)(x^2+4x+16}\\ &\\ &\frac{1}{(\sqrt 4+2)(4^2+4·4+16)}=\frac{1}{4·48}= \frac{1}{192}\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Si no es así pregúntame.  Y si ya está bien, no olvides valorar la respuesta.