¿Cómo realizar esta derivada por definición?

Javier Perez!

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Siguiendo la norma de un ejercicio por pregunta haré la segunda que es la que estoy mas seguro. En las otras te recuerdo que el símbolo √ es insuficiente, ya que solo limita el radicando por la izquierda, ppor la derecha es imposible saber donde termina se debe complementar con paréntesis

√()

O usar notaciones sencillas que se pueden escribir con el teclado sin tener que hacer un despliegue extraordinario para escribir símbolos atípicos. Internacionalmente y de forma recomendada es

Sqrt()

Y en todo caso se admite la variante local

Raíz()

Pero siempre los paréntesis encerrando el radicando, eso es lo fundamental.

$$\begin{align}&f(x) = \sqrt[3]{3x+4}\\ &\\ &f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[3]{3(x+h)+4}-\sqrt[3]{3x+4}}{h}\\ &\\ &\text{sabemos que}\\ &\\ &a^3 - b^3=(a-b)( a^2+ab + b^2)\\ &\\ &\text {de donde}\\ &\\ &a-b = \left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b²}\right)\\ &\\ &\text{vamos a multiplicar y dividir por ese parénteis largo}\\ &\\ &=\lim_{h\to 0} \frac{\left(\sqrt[3]{3(x+h)+4}-\sqrt[3]{3x+4}\right)\left(\sqrt[3]{(3(x+h)+4)^2}+\sqrt[3]{(3(x+h)+4)(3x+4)}+\sqrt[3]{(3x+4)^2}  \right)}{h\left( \sqrt[3]{(3(x+h)+4)^2}+\sqrt[3]{(3(x+h)+4)(3x+4)}+\sqrt[3]{(3x+4)^2} \right)}=\\ &\\ &\\ &\lim_{h\to 0} \frac{3(x+h)+4-(3x+4)}{h\left( \sqrt[3]{(3(x+h)+4)^2}+\sqrt[3]{(3(x+h)+4)(3x+4)}+\sqrt[3]{(3x+4)^2} \right)}=\\ &\\ &\\ &\lim_{h\to 0} \frac{3x+3h+4-3x-4}{h\left( \sqrt[3]{(3(x+h)+4)^2}+\sqrt[3]{(3(x+h)+4)(3x+4)}+\sqrt[3]{(3x+4)^2} \right)}=\\ &\\ &\\ &\lim_{h\to 0} \frac{3h}{h\left( \sqrt[3]{(3(x+h)+4)^2}+\sqrt[3]{(3(x+h)+4)(3x+4)}+\sqrt[3]{(3x+4)^2} \right)}=\\ &\\ &\\ &\lim_{h\to 0} \frac{3}{\sqrt[3]{(3(x+h)+4)^2}+\sqrt[3]{(3(x+h)+4)(3x+4)}+\sqrt[3]{(3x+4)^2}}=\\ &\\ &\\ &\frac{3}{\sqrt[3]{(3x+4)^2}+\sqrt[3]{(3x+4)(3x+4)}+\sqrt[3]{(3x+4)^2}}= \\ &\\ &\\ &\frac{1}{\sqrt{(3x+4)^2}}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

El último paso se podría haber descompuesto en más pero es que el ordenador ya no podía con más fórmulas se bloqueaba.  Y eso es que no es un ordenador nada malo, que con otro que probé y devolví ya hubiera sido difícil escribir la tercera línea.  Por eso tampoco se puede abusar del editor de ecuaciones y resolver cualquier clase de problema.