Resuelve la siguiente ecuación diferencial

$$\begin{align}& \end{align}$$

¡Hola Carlos Amador!

Creo que haciendo el cambio de variable x=e^t pue3de salir algo, al menos en las de orden 2 se hace así.

$$\begin{align}& x=e^t\\ &  \\ & \frac{dx}{dt}=e^{t}=x \implies \frac{dt}{dx}=x^{-1}\\ & \\ & \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}·\frac{dx}{dt}=\frac{dy}{dx}·x\implies \\ & \\ & \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}x^{-1}\\ & \\ & \\ & \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d\left(\frac{dy}{dt}\right)}{dx}x^{-1}-\frac{dy}{dt}x^{-2}=\\ & \\ & \frac{d\left(\frac{dy}{dt}\right)}{dt}·\frac{dt}{dx}·x^{-1}-\frac{dy}{dt}x^{-2}=\\ & \\ & \frac{d^2y}{dt^2}·x^{-1}·x^{-1}-\frac{dy}{dt}x^{-2}  \implies\\ & \\ & x^2 \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\\ & \\ & \\ & \frac{d^3y}{dx^3}=\frac{d\left(\left( \frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)x^{-2}\right)}{dt}·\frac{dt}{dx}=\\ & \\ & \left[\left(\frac{d^3y}{dt^3}-\frac{d^2y}{dt^2}  \right)x^{-2}-2\left( \frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)x^{-3}  \right]x^{-1}   =\\ & \\ & \end{align}$$

Pues no va a salir nada.  Si acaso me pasas los apuntes o el libro donde salga esto a lo mejor puedo hacer algo.