Demostrar si es un espacio vectorial
sea v el conjunto formado solamente por el elemento cero.
sean 0+0=0 y c*0=0
demuestre que v es un espacio vectorial.
por favor y gracias
1 respuesta
Camila Aguilar!
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No dices cuál es el cuerpo del espacio vectorial pero podemos suponer que sea cualquiera. Entonces tomamos el espacio vectorial formado por el cuerpo sobre si mismo, esto siempre es un espacio vectorial como R por ejemplo.
Entonces vamos a ver que el subconjunto formado por 0 con esas operaciones es un subespacio vectorial del cuerpo sobre si mismo.
En el cuerpo se cumple que su elemento neutro aditivo
0+0 = 0
y que ese mismo elemento neutro aditivo cumple
c·0 = 0 para todo c € K
Y en un cuerpo sobre un cuerpo el elemento neutro aditivo es un subespacio vectorial por ser distinto del vacio y cumplirse
c·0 + d·0 = 0 para todo c,d €K
Entonces haremos un isomorfismo del vector 0 ese con esas operaciones en el subespacio vectorial del elemento neutro aditivo del cuerpo tal que la imagen de ese vector 0 es el elemento neutro aditivo del cuerpo.
Es una aplicacion biyectiva obviamente porque los dos conjuntos tienen un elemento. Y es una aplicación lineal ya que
f(0+0) = f(0) = 0
f(0)+f(0) = 0+0 = 0
...
f(c·0) = f(0) = 0
cf(0) = c·0 = 0
El álgebra lineal tiene esto: he estado usando el 0 del conjunto y el 0 elemento neutro de K sin decir cuál era cuál en cada operación, pero eso se sabe por el contexto de la operación donde sale, en álgebra superior no te van a estar diciendo este es este 0 y este es el otro, solo temlo dirán los 4 primeros días, después tendrás que deducirlo tú.
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Luego en resumen el elemento 0 con un cuerpo y unas operaciones hemos visto que es isomorfo al espacio vectorial nulo del cuerpo sobre si mismo. Lueog lo que nos han dado es un espacio vectorial.
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Y eso es todo.
