Anónimo
Problema de campo eléctrico, cascaron cilíndrico
Una carga positiva se distribuye uniformemente a través de su cascaron cilíndrico largo no conductor de radio interno R y de radio exterior 2R. ¿A qué profundidad radial debajo de la superficie externa de la Distribución de carga continua sera la fuerza del campo eléctrico la mitad del valor superficial?
1 Respuesta
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Al distribuirse uniformemente la cantidad de carga es proporcional al volumen que la contiene
El volumen para la carga total es
(4/3)pi· (2R)^3 - (4/3)pi·R^3 = (4/3)pi(8R^3 - R^3) = (28/3)pi·R^3
Ahora debemos encontrar un radio, llamémoslo x, donde el volumen del cascaron sea la mitad del calculado antes
(4/3)pi·x^3 - (4/3)pi·R^3 = (14/3)pi·R^3
(4/3)pi·x^3 = (14/3 - 4/3)pi·R^3
(4/3)pi·x^3 = (10/3)pi·R^3
x^3 =(3/4)(10/3)R^3 = (10/4)R^3 = 2.5R^3
x = 2.5^(1/3)·R = 1.357208808R
Ese es el radio, pero nos preguntan la profundidad, esta será
p = 2R - 1.357208808R = 0.6427911917R
¡Gracias! me sirvió de mucho
La fórmula del volumen de un cilindro es pi*r^2*h por uso el volumen de una esfera
¡Ah, pues ya ves que lo hice para una esfera!
Cuando vi la palabra radio ya no pensé en otra cosa que una esfera recordando algún ejercicio reciente que había hecho de esto.
Lo hacemos para el cilindro. El cilindro cambia de radio pero no de altura, entonces la carga es proporcional al área de la base del cascarón.
El cascarón tiene esta base:
pi[(2R)^2 - R^2] = pi(4R^2 - R^2) = 3piR^2
Y el cascarón con radio x que tenga la mitad de base debe cumplir
pi[x^2 - R^2] = (3/2)piR^2
simplificamos pi antes de nada
x^2 - R^2 = (3/2)R^2
x^2 = (5/2)R^2
x = (5/2)^(1/2) R
Matemáticamente sería
$$\begin{align}&x= \sqrt \frac 52·R= \frac{\sqrt 5}{\sqrt 2}·R= \frac {R \sqrt 2 \sqrt 5}{2}=\frac{R \sqrt {10}}{2}\end{align}$$Y en la práctica
x = 1.58113883·R
Como esto es el radio la profundidad respecto a 2R es
p = 2R - 1.58113883·R = 0.4188611699·R
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Y eso es todo, perdona por no haber leído bien el enunciado.