Método de Newton...analisis numerico!

Zankass Olancarte!

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En 0 la función vale

0 - cos0 = 0-1 = -1

y en pi/2 vale

pi/2 - cos(pi/2) = pi/2 - 0 = 1.570796327

Luego hay cambio de signo y por ser una función contínua habra una raíz.

En el método de Newton es importante dar una aproximación inicial lo mas cercana posible a la solución. Aquí no voy a utilizar ningún gráfico ni abusaré de la calculadora voy a tomar el punto medio aproximadamente como inicial

xo = 0.78

Y ahora aplicamos la fórmula par las proximas iteraciones

$$\begin{align}&x_{n+1}= x_{n}-\frac{f(x)}{f`(x)}\\ & \\ & x_{n+1}=x_n - \frac{x_n-\cos x_n}{sen\; x_n}\\ & \\ & x_1=0.78 - \frac{0.78-\cos 0.78}{sen 0.78}= 0.6817652727\\ & \\ & x_2 =0.6817652727- \frac{0.6817652727-\cos 0.6817652727}{sen0.6817652727}=\\ & \\ & 0.8320374924\\ & \\ & x_3 =0.617421\\ & \\ & x_4 =0.9593\end{align}$$

Hemos pinchado en hueso nos vamos alejando de la solución en vez de acercarnos.

Por eso decía de la importancia de que la primera iteración fuera cercana a la respuesta.

Tomaremos como embrión la media de las dos primeras respuestas que ha dado el sistema

(0.68 + 0.83) / 2 = 0.755

x1 = 0.7159967915

x2 = 0.7745652434

x3 = 0.6890067535

x4 = 0.8193542235

x5 = 0.632328

Pasa lo mismo

Pues vamos a tener que buscar una aproximación mejor, lo iniciaremos con el método de la cuerda y luego seguiremos con el de Newton

Empezamos por los dos puntos que habíamos puesto

0.68 - cos0.68 = -0.0975

0.83 - cos0.83 = 0.1551

0.68 + 0.15·0.0975 / (0.1551+ 0.0975) = 0.73789

0.73789 - cos 0.73789 = -0.002

tomamos este punto y 0.83

0.73789 + (0.83-0.73789)·0.002 /(0.1551+0.002) = 0.73906

0.73906 - cos 0.73906 = -0.00004206

Yo creo que este punto ya está bastante cerca incluso nos hemos acercado demasiado quizá

xo= 0.73906

x1 = 0.7391224457

x2 = 0.7390297446

x3 = 0.7391673662

x4 = 0.7389630703

x5= 0.7392663723

No puede ser, a esta función se le da muy mal el métod de Newton, tiende a separarse en vez de a converger.

Mejor tomemos el metodo de la cuerda y demos una iteración más con

0.73906 y 0.83

0.73906 + (0.83-0.73906)0.00004206/(0.1551+0.00004206) = 0.7390846544

0.7390846544 - cos 0.7390846544 = -0.00000080135

Pruebo Newton por última vez

x1 = 0.739085844

x2 = 0.739084078

x3 = 0.7390866997

x4= 0.7390828077

x5 = 0.7390885856

No hay forma diverge siempre, es un punto muy inestable.

Di que la respuesta es

x= 0.7390846544

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Y eso es todo, a no ser que tengáis alguna teoría especialque yo no conozca ya ves lo complicado que ha sido.

Espera. Olvídate de todo lo hice mal. Dentro de un rato lo hago de nuevo.