Resolver , unidad 4 ejercicio 4 de misma actividad

$$\begin{align}&\int \frac{x^3}{(x^2+4)^{\frac 32}}dx=\\ &\\ &\text{Hay que hacer que la raíz cuadrada solo}\\ &\text{ tenga una variable dentro}\\ &\\ &t=x^2+4\implies x^2=t-4\\ &dt=2xdx\implies xdx = \frac 12dt\\ &\\ &\text{El }x^3 dx \text{ del numerador lo descomponemos en}\\ &x^2 \text { para sustituir por }t-4 \\ &y \;xdx \text{ para sustituir por }\frac 12dt\\ &\\ &=\frac 12\int \frac{t-4}{t^{\frac 32}}dt=\\ &\\ &\frac 12 \int \left(t^{-\frac 12}-4t^{-\frac 32}  \right)dt=\\ &\\ &\frac 12\left(\frac{t^{\frac 12}}{\frac 12}-4·\frac{t^{-\frac 12}}{-\frac 12}\right)+C=\\ &\\ &t^{\frac 12}+4t^{-\frac 12}+C =\\ &\\ &\sqrt t +\frac 4{\sqrt t}+C=\\ &\\ &\frac{t+4}{\sqrt t}+C=\\ &\\ &\frac{x^2+4+4}{\sqrt{x^2+4}}+C=\\ &\\ &\frac{x^2+8}{\sqrt{x^2+4}}+C\\ &\\ &\end{align}$$

¡Hola Antonio Martínez!

Esta página falla y a veces pone el cuadro de fórmulas al principio aunque el saludo estaba puesto lo primero. Y después es imposible mover el cuadro.

Y eso es todo.

Antonio Martinez

Como el grado del numerador es mayor que el del denominador hacemos la división de los dos polinomios

y da de Cociente=x y Resto -4x

Aplicamos la igualdad

$$\begin{align}&\frac{DVD}{DVS}=C+\frac{R}{DVS}\end{align}$$

DVD: dividendo

DVS: divisor

C cociente   R:resto

Luego la integral se transforma en:

$$\begin{align}&\int \frac{x^3}{x^2+4}dx=\int (x- \frac{4x}{x^2+4})dx=\\ &\int x dx-2 \int \frac{2x}{x^2+4} dx =\\ &\frac {x^2}{2}-2 ln (x^2+4)+C\end{align}$$

La segunda integral es un logaritmo neperiano ya que la derivada del denominador es el numerador.