Demostrar congruencia (teoría de números)

Gustavo Bordenave!

Pienso que se demostrará por inducción. Vamos a empezar no por n=1 sino por n=0, eso incrementa la validez del enunciado donde no nos dicen si n puede valer 0 o no

Luego para n=0 tenemos

3·5^1 + 2^1 = 15+2 = 17 ~= 0 (mod 17)

El símbolo ~= es lo que se me ha ocurrido como símbolo de congruencia.

Y ahora tenemos que demostrar que si la congruencia se cumple para n se cumple para n+1

$$\begin{align}&3·5^{2(n+1)+1}+2^{3(n+1)+1}=\\ &   \\ &   3·5^{2n+1+2 }+2^{3n+1+3 }=\\ &   \\ &   3·5^2·5^{2n+1} + 2^3·2^{3n+1}=\\ &   \\ &   25·3·5^{2n+1}+8·2^{3n+1}=\\ &   \\ &  17·3·5^{2n+1}+8·3·5^{2n+1}+8·2^{3n+1}=\\ &\\ & 17·3·5^{2n+1}+ 8(3·5^{2n+1}+2^{3n+1})\cong\\ &\\ & 8(3·5^{2n+1}+2^{3n+1}) (mod\; 17)\\ &\\ &\text{por hipótesis de inducción}\\ &\\ &3·5^{2n+1}+2^{3n+1} \cong 0\; (mod\; 17)\\ & \\ &luego \\ &8(3·5^{2n+1}+2^{3n+1}) \cong 0\; (mod\; 17)\\ &\\ &\text{Y tomando el principio y el final}\\ &\\ &3·5^{2(n+1)+1}+2^{3(n+1)+1}\cong 0 \;(mod \;17)\\ &\end{align}$$

Luego se cumple para n+1 y con esto queda demostrada la inducción.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.

Un saludo.

Ya se ve que de aqui va a ser imposible sacar la expresión de la fórmula para n luego abandonamos la demostración por inducción y seguiremos intentando por deducción. Vamos a ver si encontramos un ciclo en el que todas estas expresiones sean conguentes con 0 (mod 17)

Los términos de 7·5^(2n+1) cada término se obtienen multiplicando el anterior por 25,

$$\begin{align}&a_{n+1}=25a_n=17a_n+8a_n\cong8a_n\end{align}$$

Mientras que los términos de 2^(3n+1) se obtienen multipliocando el anterior por 2^3=8

Luego llamando bn a esa sucesión tenemos

$$\begin{align}&b_{n+1}= 8b_n\\ &\\ &\text{Sea } c_n \text { la suma de las dos}\\ &\\ &c_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}=25a_n+8b_n \cong 8a_n+8b_n (mod \;17)=\\ &\\ &8(a_n+b_n) = 8c_n\\ &\\ &\\ &\end{align}$$