Integral compleja de línea

La curva x=y^(1/3) en el plano complejo se puede parametrizar como

sigma(t) = t^(1/3)+it

cuya derivada es

sigma'(t) = (1/3)t^(-2/3) + i

El punto -(i+1) se logra con t=-1

y el punto i+1 con t=1

Y en este caso también es importante que el punto 0 se obtiene con t=0 ya que habrá que dividir el camino en dos trozos porque la función cambia en y=0

$$\begin{align}&\int_{\sigma}f(z)dz = \\ &\\ &\int_{-1}^0 1·\left(\frac 13t^{-\frac 23}+i\right)dt+\int_0^1 4t·\left(\frac 13t^{-\frac 23}+i\right)dt=\\ &\\ &\left[\frac 13·\frac{t^{1/3}}{\frac 13}+it\right]_{-1}^0+4\int_0^1 \left(\frac 13 t^{\frac 13}+it\right)dt=\\ &\\ &0+0-(-1)^{1/3}-(-1i)+4\left[\frac 13 ·\frac{t^{4/3}}{\frac 43}+\frac {it^2}2  \right]_0^1=\\ &\\ &1+i +4\left(\frac 14+\frac i2-0-0  \right)=\\ &\\ &1+i+4+2i = 5+3i\end{align}$$

Ruego examines atentamente todo, ya que asi como en las integrales normales puedo comprobar si están bien con algún programa, en estas complejas en línea no tengo programa que pueda comprobarlas (o al menos desconozco como se haría) y puedo haber cometido fallos.

¡Muchas Gracias! Voy a compararlo con la teoría que tengo para checarlo. Saludos experto valeroasm