Verdadero y Falso polinomios
Hola, tengo un problema con estas preguntas, tengo que responder verdadero o falso y si es falso explicar por que es falso,. Son tres pero mando de uno a la vez para no molestar.
a) Los polinomios P(x) E R(x) tienen idéntica factorización en C(x) y en R(x) si y solo si todas sus raíces son reales.
1 Respuesta
Gera Gorgoretti!
Es verdadero.
La factorización en C(x) tiene todo los factores de la forma (x-r_i)^n, donde las r_i son las raíces y n la multiplicidad de la raíz. Si la factorización en R(x) es igual que en C(x) entonces los númerors r_i son números reales y por lo tanto las raíces son reales.
Y si las raices son reales P(x) se puede factorizar con factores de la forma (x-r_i)^n que es la máxima descomposición que puede hacerse del polinomio y por lo tanto la descomposición en C(x) coincide con ella.
Y eso es todo.
¿Osea es lo mismo la factorización en un polinomio complejo que en uno con raíces reales verdad?
Creo qu no lo tienes muy claro. Un polinomio en R(x) puede tener raíces reales y/o complejas.
Por ejemplo
P(x) = x^2 + 4
Tiene raíces complejas.
Entonces la factorización en R(x) se queda así tal cual, ese polinomio es irreducible en R
Mientras que en C(x) la factorización es
P(x) = (x+2i)(x-2i)
Ahora bien, si la factorización en R(x) tiene todos los factores de la forma (x-r) o si me apuras (x-r)^n y no tiene ninguno irreducible de la forma (x^2+px+q), entonces la factorización en C(x) es la misma que en R(x).
