Pregunta sobre series (calculo)
hola buenas tardes:
necesito que me indique y fundamente si la serie de la siguiente función es convergente o divergente
$$\begin{align}&f(x)=\sin(x)\end{align}$$
1 Respuesta
Jacarcan can!
Lo que has puesto más bien parece una función.
¿No querrás decir una serie como esta?
$$\begin{align}&u_n= sen(n)\end{align}$$También tendrías que decirme si lo preguntas es la convergencia del término infinito o la convergencia de la suma.
Ya te anticipo que ninguno de los dos es convergente.
Efectivamente esa es la función, según yo la serie seria:
$$\begin{align}&S=sen (x_0)+sen(x_1)+sen(x_2)+sen(x_3)+...+sen(x_n)\end{align}$$y se me pide, que determine si la serie es convergente o divergente
Me parece que estamos teniendo una confusión entre lo que son series numéricas y series de funciones. Yo creo que estamos hablando de series de funciones y lo que te piden es hallar la serie (de Taylor) de la función senx.
¿Es eso?
si
Pues la seré de Taylor se calcula como siempre, con la formula. En concreto esta vez la construiremos en torno al punto x=0 y entonces se llama también de McLaurin
$$\begin{align}&f(x)= f(0)+f'(0)·x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+···+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+...\end{align}$$Luego lo que vamos a calcular es el valor de la función y las derivadas en x=0
sen(0) = 0
sen'(x) = cosx ==> sen'(0) = 1
sen''(x) = -senx ==> sen''(0) = 0
sen'''(x) = -cosx ==> sen'''(0) = -1
sen^(4)(x) = senx ==> sen^(4)(0) = 0
sen^(5)(x) = cosx ==> sen^(5)(0) = 1
Y se repite el ciclo cada 4 derivadas
$$\begin{align}&senx=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}+···\\ &\\ &\text{Y expresado como término general es}\\ &\\ &senx = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n ·\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\end{align}$$Y la serie es convergente para todo x€R. Ya que dado cualquier valor de x podemos encontrar un n tal que
x^(2n+1) / (2n+1)!
Sea tan pequeño como queramos, la función factorial es de orden mayor que la potencial y ese cociente tiende a cero muco más rápido que 1/x
Y eso es todo.
