Calculo de Reglas que determinan derivadas de una función

¡Hiola Antonio!

3)

Seguimos usando la fórmula

(x^n)' = nx^(n-1)

Lo que pasa es que esta vez habrá exponente negativo y usaremos la regla de la cadena

$$\begin{align}&([u(x)]^n)' = n[u(x)]^{n-1}·u'(x)\end{align}$$

es casi más fácil entenderlo con el ejemplo que con la escritura.

$$\begin{align}&f(t)=8(t-3)^{-1}\\ & \\ & f'(t) = 8(-1)(t-3)^{-2}·1 = -8(t-3)^{-2}\\ & \\ & f''(t)=-8(-2)(t-3)^{-3}·1=16(t-3)^{-3}=\frac {16}{(t-3)^3}\end{align}$$

La respuesta que aparece en el enunciado está mal.

6)

Lo haremos de la misma forma escribiendo la función en forma exponencial, aquí la dificultad está en que los exponentes son fraccionarios.

$$\begin{align}&f(x) =(x+5)^{\frac 12}\\ &\\ &f'(x) = \frac 12(x+5)^{\left(\frac 12-1\right)}·1=\frac 12(x+5)^{-\frac 12}\\ &\\ &f''(x) = \frac 12·\left(-\frac 12  \right)(x+5)^{\left(-\frac 12-1\right)}·1=\\ &\\ &-\frac 14(x+5)^{-\frac 32} = -\frac{1}{4 \sqrt{(x+5)^3}}\\ &\end{align}$$

7)

De nuevo la mísma fórmula poniendo la función en forma exponencial

$$\begin{align}&f(x) = (5-x)^{-\frac 12}\\ &\\ &f'(x) = -\frac 12(5-x)^{\left(-\frac 12-1\right)}·(-1)=\frac 12(5-x)^{-\frac 32}\\ &\\ &f''(x)=\frac 12\left(-\frac 32\right)(5-x)^{\left(-\frac 32-1  \right)}·(-1)=\\ &\\ &\frac 34(5-x)^{-\frac 52}= \frac{3}{4 \sqrt{(5-x)^5}}\end{align}$$

Y como puedes ver la respuesta que te dan no está bien (o no lo está la función).

Y eso es todo.