Hallar el conjunto soluciòn de la desigualdad valor absoluto:|2x-1/x+3| >= 3?

Candy Maritza!

$$\begin{align}&\left|\frac{2x-1}{x+3} \right| \ge3\\ & \\ & \text{Esto son dos ecuaciones}\\ & \\ & 1)\quad \frac{2x-1}{x+3}\ge 3\\ & \\ & 2)\quad \frac{2x-1}{x+3}\le-3\\ & \\ & \text{Resolvemos la primera}\\ & Si\; x\ge -3\implies 2x-1\ge 3x+9\implies\\ & -x\ge10\implies x\le-10\implies absurdo\\ & \\ & Si\; x\lt-3\implies2x-1\le3x+9\implies\\ & -x\le10\implies  x\ge -10\implies x\in[-10,-3]\\ & \\ & \text{Resolvemos la segunda}\\ & Si x\ge-3\implies 2x-1\le-3x-9\implies\\ & 5x\le-8\implies x\le-\frac 85\implies x\in\left[-3,-\frac 85  \right]\\ & \\ & Si\; x\le-3\implies 2x-1\ge-3x-9\implies\\ & 5x\ge-8\implies x\ge -\frac 85\implies absurdo\\ & \\ & \text{Y la solución total es la unión de las soluciones}\\ & \\ & CS=[-10,-3] \cup\left[-3,-\frac 85  \right] =\left[-10,\frac 85\right]\end{align}$$

Y eso es todo.

Muchas gracias.

El resultado es [-10, -3)  Incluye al -10 pero no incluye el -3.

El desarrollo queda así:

Primero se iguala a 0, pasamos el 3 al lado izquierdo de la ecuación:

$$\begin{align}&\frac{2x-1}{x+3} >=3\\ & \\ &\frac{2x-1}{x+3} -3>=0\end{align}$$

Obtenemos el común denominador:

$$\begin{align}&\frac{2x-1-3(x+3)}{x+3} >=0\\ & \\ &Resolvemos\\ &\frac{2x-1-3x-9}{x+3} >=0\\ &  \\ &\frac{-x-10}{x+3} >=0\\ &\end{align}$$

Ahora, encontramos el número que en el numerador nos resulte 0

-x  -10 = 0

Despejamos x

x = 10

Ahora, encontramos el número que en el denominador nos resulte 0

x + 3 = 0

Despejamos x

x = -3

Como en el denominador nos da un valor 0 el -3, entonces el -3 no debe considerarse.

CS = [-10, -3)

Puedes comprobar en la ecuación inicial que los valores desde -10 hasta -4 el resultado es >= 3