¿Cómo puedo resolver este ejercicio?
Determinar el valor de k para que k, k+6 y k+8 estén en progresión armónica.
1 respuesta
Unos números están en progresión armónica si y solo si sus inversos (o recíprocos) están en sucesión aritmética.
Los inversos serán
$$\begin{align}&\frac 1k,\quad \frac{1}{k+6},\quad \frac{1}{k+8}\\ &\\ &\text{deben tener la misma distancia los consecutivos}\\ &\\ &\frac{1}{k+6}-\frac{1}{k}=\frac{1}{k+8}-\frac{1}{k+6}\\ &\\ &\frac{2}{k+6}-\frac{1}{k}-\frac{1}{k+8}=0\\ &\\ &\text{multiplicamos todo por }k(k+6)(k+8)\\ &\\ &2k(k+8)-(k+6)(k+8)-k(k+6)=0\\ &\\ &2k^2+16k-k^2-14k-48-k^2-6k=0\\ &\\ &-4k-48 =0\\ &\\ &-4k=48\\ &\\ &k=-12\\ &\end{align}$$Vamos a comprobarlo, la progresión armónica será:
-12, -6, -4
La reciproca es
-1/12, -1/6, -1/4
puesta con denominador común es
-1/12, -2/12 ,- 3/12
que es claramente aritmética con diferencia d=-1/12
Luego está bien.
Y eso es todo.
¡Gracias! :)
Solo me queda una duda lo del denominador común y los numeradores -1/12; -2/12 y -3/12 ¿cómo llegó a esos números? y ¿por qué ?
Es muy sencillo. Para poder comparar números draccionarios o sumarlos y restarlos más fácilmente es conveniente que tengan el mismo denominador.
Si tenemos denominadores 12, 6 y 4, podemos poner como denominador común el 12 ya que es múltiplo de los otros dos. Cuando son números más complicados se calcula el mínimo común múltiplo con toda la parafernalia de la descomposición en factores primos, pero en este caso se ve a simple vista que el mínimo común múltiplo es 12.
Entonces -1/12 lo dejamos igual
-1/6 lo multiplicamos por 2 y queda -2/12
-1/4 lo multiplicamos por 3 y queda -3/12
Con ello tenemos la misma sucesión expresada así
-1/12, -2/12, -3/12
Y ahí ya se ve claro que la diferencia entre consecutivos es -1/12
-2/12 -(-1/12) = -2/12 + 1/12 = -1/12
-3/12 -(-2/12) = -3/12 + 2/12 = -1/12
Luego es una sucesión aroitmética y por lo tanto la recíproca (inversa) que es
-12, -6, -4
Es armónica.
Y eso es todo.
