Generar el mismo subespacio vectorial
Buenas tardes, tengo la siguiente duda:
Para que los vectores
$$\begin{align}&a = (-1,5,4)^t\\ &\end{align}$$y
$$\begin{align}&b = (x,-2,-2) ^t\end{align}$$generen el mismo subespacio vectorial de
$$\begin{align}&R^3\\ &\end{align}$$que los vectores
$$\begin{align}&c = (x',3,2)^t \end{align}$$y
$$\begin{align}&d = (5,1,0)^t\end{align}$$, hallar x y x'.
Gracias.
1 respuesta
Rocio Nuñez!
Interesante pregunta. Voy a trabajar con los vectores en horizontal si quieres pones tú la t de transpuesto en todos los que escriba.
El subespacio será el conjunto de las combinaciones lineales de los vectores a y b. Y también será el de las combinaciones lineales de c y d.
Como d pertenece al subespacio ya que
d= 0·c + 1·d
se podra poner como combinación lineal de a y b
sa + tb = d
s(-1, 5, 4) + t(x, -2,-2) = (5,1,0)
lo cual nos proporciona tres ecuaciones
-s + xt = 5
5s - 2t = 1
4s - 2t = 0
Si a la segunda le restas la tercera queda
s =1
con esto vas a la segunda
5 - 2t = 1
4 = 2t
t=2
y con esto vas a la primera
-1 +2x = 5
2x = 6
x=3
Ya conemos el valor de x, luego el vector b es
b(3, -2, 2)
Y habrá una combinación de a y b que nos de el vector c
s(-1,5,4)+ t(3,-2-2) = (x',3,2)
-s + 3t = x'
5s - 2t = 3
4s - 2t = 2
lo mismo de antes, restamos la tercera a la segunda
s = 1
vamos a la segunda con ese valor
5-2t = 3
2=2t
t=1
y ahora a la primera
-1 +3·1 = x'
x' = 2
Luego los valores son
x=3
x'=2
Y la comprobación puedes hacerla así
a=(-1,5,4) b=(3,-2,-2)
c=(2,3,2) d=(5,1,0)
veamos que c y d son combinaciones lineales de a y b
c= a+b
d= a+2b
Y vemos que a y b son combinaciones lineales de c y d
a= 2c-d
b=d-c
Casí ha sido más difícil la comprobación que la resolución.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pegúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.
