Estadística matemática con aplicaciones valor esperado y varianza de v.a`s 5.107
En el Ejercicio 5.12 se estableció la siguiente función de densidad de probabilidad conjunta para las
variables aleatorias X y Y, que fueron las proporciones de dos componentes de una muestra de una
mezcla de insecticida:
f (x, y) = 2, 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1, 0 ≤ x + y ≤1,
0, en cualquier otro punto.
Para los dos productos químicos en consideración, una cantidad importante es la proporción total
X+Y hallada en cualquier muestra. Encuentre E(X + Y) y V(X + Y).
1 Respuesta
Por definición la esperanza de una función G(X, Y) es
$$\begin{align}&E[G(X,Y)] =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}G(x,y)·f(x,y)\;dy\,dx\\ & \\ & \text{donde f es la función de densidad conjunta de X e Y}\end{align}$$Para averiguar los límites de integración útiles (donde la función de densidad no es 0) tengamos en cuenta que la suma de x+y no debe exceder de 1. Luego si a x le damos un valor entre 0 y 1, para la y valdrá desde 0 hasta 1-x ya que 1-x será menor que 1
$$\begin{align}&E(X+Y) =\int_0^1\int_0^{1-x} (x+y)·2\;dy\,dx=\\ &\\ &\int_0^1\int_0^{1-x} (2x+2y)\;dy\,dx=\\ &\\ &\int_0^1\left[2xy+y^2\right]_0^{1-x}dx=\\ &\\ &\int_0^1 \left[2x(1-x)+(1-x)^2\right]dx=\\ &\\ &\int_0^1 \left(2x-2x^2+1-2x+x^2\right)dx=\\ &\\ &\int_0^1(-x^2+1) dx=\\ &\\ &\left[-\frac{x^3}{3}+x \right]_0^1=-\frac 13+1=\frac 23\\ &\end{align}$$Y la varianza de una función es la integral de esa función menos su media todo ello elevado al cuadrado y por la función de distribución.
$$\begin{align}&V[G(X,Y)] =\int_{\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\left(G(X,Y)-E[G(X,Y)]\right)^2·f(x,y)\;dy\,dx\\ & \\ & \text{pero se puede simplificar el cálculo así}\\ & \\ &V[G(X,Y)] =\int_{\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\left[G(X,Y)\right)^2·f(x,y)\;dy\,dx-(E[G(X,Y)])^2\\ &\\ &\text{el término que se resta ya se calculó antes}\\ &\\ &(E[G(X,Y)])^2 = \left(\frac 23\right)^2= \frac 49\\ &\\ &\text{lo dejamos aparcado hasta el final}\\ &\\ &\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(x+y)^2·2\;dy\,dx=\\ &\\ &\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(2x^2+2y^2+4xy)\;dy\,dx=\\ &\\ &\int_{0}^{1}\left[2x^2y+\frac{2y^3}{3}+2xy^2 \right]_0^{1-x}dx=\\ &\\ &\int_0^1\left(2x^2-2x^3+\frac{2-6x+6x^2-2x^3}{3}+2x+2x^3-4x^2 \right)dx=\\ &\\ &\int_0^1\left( -\frac{2x^3}{3}+\frac 23 \right)dx=\\ &\\ &\left[ -\frac{2x^4}{12}+\frac{2x}{3}\right]_0^1 =-\frac 16+\frac 23=\frac 12\\ &\\ &\text{no nos olvidemos de restar lo que habíamos dejado}\\ &\\ &V(X+Y) = \frac 12 - \frac 49=\frac {9-8}{18}= \frac {1}{18}\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
