Derivadas complejas...Ecuaciones Cauchy-Riemann

Dada una función de variable compleja f(z) la podemos poner en la forma

f(z) = f(x+iy) = U(x,y) + i·V(x,y)

Siendo U(x, y) y V(x, y) dos funciones reales de dos variables reales

Entonces f cumple las condiciones de Cauchy-Riemann si se dan estas dos igualdades:

Ux = Vy

Uy = -Vx

Donde

Ux es la derivada parcial de U respecto de x,

Vy es la parcial de V respecto de y

Uy la parcial de U respecto de y

Vx la parcial de V respecto de x

Vamos a localizar las funciones U y V y comprobaremos

f(z)=(2-i) z^2+(3-2i)z

f(x+iy) = (2-i)(x+iy)^2 + (3-2i)(x+iy)

f(x+iy) = (2-i)(x^2 - y^2 + 2ixy) + 3x + 3iy - 2ix + 2y

f(x+iy) = 2x^2 - 2y^2 + 4ixy - ix^2 + iy^2 + 2xy + 3x + 3iy - 2ix + 2y

f(x+iy) = 2x^2 - 2y^2 + 2xy + 2y + 3x + i(4xy - x^2 +y^2 + 3y - 2x)

U(x,y) = 2x^2 - 2y^2 + 2xy + 2y + 3x

V(x,y) = 4xy - x^2 + y^2 + 3y - 2x

Y ahora comprobamos

Ux = 4x + 2y + 3

Vy = 4x + 2y + 3

se cumple la primera  Ux = Vy

Uy = -4y + 2x + 2

Vx =   4y - 2x - 2

Y se cumple la segunda Uy=-Vx

Luego se cumplen las condiciones de Cauchy Riemann.

Y eso es todo.