Problema con derivadas complejas...
Solicitando su valioso apoyo con este problema....
Hallar todas las funciones complejas de la forma f(z)=u(x)+iv(y)de tal manera que f sea derivable en C.
1 Respuesta
Hay un teorema que dice:
Sea f(z) = U(x, y) + i·V(x, y) la descomposición que todos conocemos de f donde U(x, y) y V(x, y) son funciones reales de variable real, y sea zo=xo + i·yo un punto del dominio de f, y supóngase que las derivadas parciales Ux, Uy, Vx y Vy existen y son continuas en (xo, yo), entonces si se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (xo, yo) la función f es derivable en zo
Luego para empezar las funciones U y V deben ser derivables y con derivada continua, eso es lo que se llama que sean funciones de clase C^1
Y las ecuaciones de Cauchy Riemann se traducirán en
Ux(xo,yo) = Vy(xo,yo)
Uy(xo,yo) = - Vx(xo,yo)
para todo (xo,yo) € C
La segunda condición es simplemente 0=0 luego no aporta nada
Como U solo depende de x, y V solo depende de y
U'(xo) = V'(yo) para todo (xo,yo) € C
Esto solo puede ser si U'(xo)=V'(yo)=k
integrando tenemos
U(x) = kx + C1
V(y) = ky + C2
Que son funciones continuas con derivada continua, luego la condición única que deben cumplir es que la las funciones sean de la forma
U(x) = kx + C1
V(y) = kx + C2
Con k, C1, C2 constantes reales.
Y eso es todo.
