Derivada de funciones complejas...funciones inversas
Agradeciendo de antemano su apoyo en este problema.
Sea f(z) una función derivable en z0, las ecuaciones de Cauchy Riemman y la suavidad que nos otorga la diferenciabilidad de la función nos garantizan que al menos en una vecindad de z0 f(z) es invertible. Si f'(z) es la derivada de f(z) ¿Cuál es la derivada de f-1(z)?
1 respuesta
Tenemos el teorema de la regla de la cadena. Dadas dos funciones complejas f y g de manera que gof esté bien definida. Si f es derivable en zo y g es derivable en wo=f(zo) entonces gof es derivable en zo y se cumple
(gof)'(zo) = g'(wo)·f '(zo)
Tomemos la función f y su inversa f^-1, su composición es la función identidad
(fof^-1)(z) = z
Derivando en la izquierda según la regla de la cadena y en la derecha normalmente tenemos
$$\begin{align}&f'\left(f^{-1}(z) \right)·f^{-1\;'}(z)= 1\\ & \\ & f^{-1\;'}(z)= \frac{1}{f'\left(f^{-1}(z) \right)}\end{align}$$Esto suele resultar un poco difícil de entender pero con un ejemplo se entiende mejor.
Sea f(z)= z^2 y queremos calcular la derivada de f^-1(z) = sqrt(z)
Sabemos de la derivada de z^2 es 2z
$$\begin{align}&f^{-1\;'} (z)= \frac{1}{2f^{-1}(z)}\\ &\\ &\sqrt z\;' = \frac 1{2 \sqrt z}\end{align}$$Y eso es todo.
