Problema de variable compleja...coordenadas rectangulares
Solicitando su apoyo en este problema....
Encuentre lo que se le solicita:
El punto z es un vértice de un cuadrado inscrito en un círculo de radio 1, encuentre todos los vértices del cuadrado y expréselos en coordenadas rectangulares.
2 Respuestas
Siendo Z el vertice del cuadrado inscripto será /Z/ = 1. Forma general Z /fi
Los cuatro vertices los veria como lugar geometrico de las raices de grado cuarto del complejo general Z = Z/fi .....todos de modulo = V1 = 1
Luego los vertices que buscas serían: 1 / (fi/4)
1 / (fi/4 + pi/2)
1 / ( fi/4 + pi)
1/ ( fi/4 + 3pi/2)
En forma rectangular Z1 = cos fi/4 + i sen fi/4
Z2 = cos( fi/4 + pi/2) + i sen (fi/4 + pi/2)
Z3 = cos( fi/4 + pi) + i sen ( fi/4 + pi)
Z 4 = cos ( fi/4 + 3pi/2) + i sen ( fi/4 + 3pi/2)
El vértice z es un número complejo de módulo 1 y un ángulo alfa cualquiera. Los otros tres vértices son también tres números complejos de módulo alfa y de ángulos alfa+pi/2, alfa+pi y alfa+3pi/2
Si el número z es
z = cos(alfa) + i·sen(alfa)
los otros tres vértices son
z2 = cos(alfa+pi/2) + i·sen(alfa+pi/2) = -sen(alfa) + i·cos(alfa)
z3 = cos(alfa+pi) + i·sen(alfa+pi) = -cos(alfa) - i·sen(alfa)
z4 = cos(alfa+3pi/2)+isen(alfa+3pi/2) = sen(alfa) - i·cos(alfa)
De lo cual se deducen las coordenadas de todos los vértices a partir de las primeras con simples intercambios de lugar y signos.
Entonces si el vertice es z=a+bi los cuatro vértices son
z = a + bi
z2 = -b + ai
z3 = -a - bi
z4 = b - ai
Y eso es todo.