Hallar inversa por bloques

Veamos como sería el producto por bloques con otra matriz

$$\begin{pmatrix}A&|&B\\--&|&--\\0&|&C\end{pmatrix}$$

Vaya, hay un fallo con el editor de ecuaciones y no se pueden escribir matrices en línea, lo haremos sin editor

(A  B)   (D E)   (AD+BF    AE+BG)
(0  C) x (F G) = (0D+CF    0E+CG)

Para que el resultado sea la matriz identidad deben darse estas ecuaciones

1)  AD+BF = I

2)  AE+BG = 0

3)  CF = 0

4)  CG = I

Tomemos F=0

con ello se cumple la ecuación 3 y la 1 queda

AD = I

Luego debe ser D = A^-1

y para que se cumpla la 4 debe ser

G=C^-1

Ya solo falta calcular E y que se cumpla la segunda ecuación

AE+BG = 0

AE = -BG = -B·C^-1

E = - (A^-1)B·C^-1

Luego la matriz inversa es

( A^-1 -(A^-1)B·C^-1 )

M^-1 =  (   0              C^-1       )

Existirá si A y C son inversibles

Vamos a verificarlo

(A B) ( A^-1 -(A^-1)B·C^-1 ) ( A·A^-1 + B·0 -A(A^-1)B·C^-1 + B·C^-1 )

(0   C) x (   0              C^-1       )  =   ( 0·A^-1 + C·0     -0·(A^-1)B·C^-1 +C·C^-1 )  =

---

(I -BC^-1 + BC^-1) (I 0)

(0            I              )    =  (0  I)

Como el producto de matrices no es conmutativo debe comprobarse también la multiplicación

( A^-1 -(A^-1)B·C^-1 ) (A B)

(   0              C^-1       ) x (0  C) =

La cual veo desde aquí que el resultado es la identidad y en todo caso te la dejo como ejercicio.

Sobre las dimensiones de los bloques son las mismas que los de la matriz M

D= A^-1 es nxn

G= C^-1 es mxm

F = 0 es mxn

E = - (A^-1)B·C^-1 es (nxn) x (nxm) x (mxm) = nxm

Y eso es todo.