Problemas de integrales dadas dos funciones 1
a) Sea:
$$\begin{align}&f(x)=x^2\end{align}$$Y:
$$\begin{align}&g(x)=x^3\end{align}$$Calcula:
$$\begin{align}&∫_0^1f dg\end{align}$$b) Sea:
$$\begin{align}&f:[a,b]→R \end{align}$$una función continua y diferenciable tal que:
$$\begin{align}&f(a)=f(b)=0\end{align}$$Y:
$$\begin{align}&∫_a^b〖〖f(x)〗^2=1〗\end{align}$$Demuestra que:
$$\begin{align}&∫_a^bxf(x)f'(x)dx=-1/2\end{align}$$Tip: Utiliza el teorema de integración por partes, con
$$\begin{align}&f(x)=x y g'(x)=f(x)f'(x)\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Amo Mo!
a)
La integral de Riemann- Stieltjes se transforma en una integral de Riemann
$$\begin{align}&\int_a^bf(x)dg(x) =\int_a^b f(x)g(x)dx\\ &\\ &\text {con lo cual}\\ &\\ &\int_0^1x^2d(x^3)=\int_0^1x^2·3x^2dx =\\ &\\ &\int_0^1 3x^4dx = \left. \frac 35x^5\right|_0^1= \frac 35\end{align}$$b)
$$\begin{align}&\int_{a}^{b} xf(x)f´(x)dx=\\ &\\ &u=x\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad du= dx\\ &\\ &dv=f(x)·f'(x)dx\quad v= \frac{[f(x)]^2}{2}\\ &\\ &=\left.x \frac{[f(x)]^2}{2}\right|_a^b- \int_a^b \frac{[f(x)]^2}{2}dx=\\ &\\ &b \frac{[f(b)]^2}{2}-a \frac{[f(a)]^2}{2} -\frac 12 \int_a^b [f(x)]^2dx=\\ &\\ &\text{Como f(a)=f(b)=0 y esa integral vale 1}\\ &\\ &0-0-\frac 12·1=-\frac 12\end{align}$$Y eso es todo.
