Problema de serie que convergen 1
Sea:
$$\begin{align}&a_n≥0 \end{align}$$Para:
$$\begin{align}&n∈N\end{align}$$Supongamos que:
$$\begin{align}&∑_(n=1)^∞a_n \end{align}$$converge. Demuestre que:
$$\begin{align}&∑_(n=1)^∞〖1/n √(a_n )〗\end{align}$$Converge.
1 respuesta
Amo Mo!
Comenzaremos demostrando que dados dos números a y b entonces
2ab <= a^2 +b^2
Demostración:
0 <= (a-b)^2 = a^2+b^2 - 2ab
2ab <= a^2 + b^2
Entonces hagamos
$$\begin{align}&a = \frac 1n\\ & \\ & b = \sqrt{a_n}\\ & \\ & 2·\frac 1n·\sqrt{a_n}\le \frac {1}{n^2}+a_n\\ &\\ & \text{Como todos los números son positivos podemos afirmar}\\ &\\ &\frac 1n·\sqrt{a_n}\le \frac {1}{n^2}+a_n\\ &\\ &\text {Fíjate que hemos mayorado cada término de la serie que}\\ &\text{ tenemos que demostrar por otro. Se usará al final.}\\ &\text{Y ahora calculamos la suma infinita}\\ &\\ & \sum_{n\in N}\frac 1n·\sqrt{a_n} \le \sum_{n\in N}\left(\frac 1{n^2}+a_n\right)=\sum_{n\in N}\frac 1{n^2}+\sum_{n\in N}a_n\end{align}$$En el lado derecho tenemos de una parte el sumatorio de los inversos de los cuadrados de los números naturales. Es una de las series más famosas, y converge por ser de la forma 1/n^a con a>1. En concreto converge a (pi^2)/6. Y la otra serie del lado derecho es la que nos dan al principio que dicen que es convergente. Luego la suma de ambas es convergente.
Y hay un teorema que dice que si una serie de términos positivos puede ser mayorada por otra convergente entonces la serie es convergente. Y como la serie de la izquierda está mayorada por la derecha que es convergente, entonces la de la izquierda es convergente y queda demostrado lo que nos pedían.
Y eso es todo.
