Utilizando la transformada de Laplace resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales.
3.
Utilizando la transformada de Laplace resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales.
$$\begin{align}&y^''+y^'-2y=0 Cuando y(0)=0 ; y^' (0)=\\ &\\ &y^''-2y^'+y=0 Cuando y(0)=0 ; y^' (0)=1\\ &\end{align}$$
son inciso A e inciso B
1 respuesta
Ejercicios del tipo ecuación diferencial llevan su trabajo, solo haré uno por pregunta.
En el primero no aparece el valor de y'(0) luego haré el segundo y el primero lo mandas en otra pregunta si quieres.
La solución es una función de t
y=f(t)
por simplificar llamaré z a la transformada de la función
z = L{y} = L{f(t)}
y aplicaremos las reglas de recurrencia de las derivadas
L{y'} = s·L{y} - f(0) = sz - y(0)
L{y''} = s²·L{y} - s·f(0) - f '(0) = s²z - s·y(0) - y'(0)
Si hacemos la transformada de ambos lados de la ecuación diferencial tendremos
L{y'' - 2y' +y} = L{0}
por linealidad de la transformada
L{y''} - 2L{y'} + L{y} = 0
s²z - s·y(0) - y'(0) - 2(sz - y(0)) + z = 0
sustituimos los valores de y(0)=0 y y'(0)=1
s²z - 1 - 2sz + z = 0
s²z - 2sz + z = 1
z(s² - 2s + 1) = 1
z = 1 / (s²-2s+1)
z= 1 / (s-1)²
Sabemos por teoría y está en las tablas que
L{t} = 1/s²
y conocemos el primer teorema de desplazamiento
Si L{f(t)}= F(s) ==> L{e^(kt)·f(t)} = F(s-k)
que puesto en forma inversa es
L^⁻1{F(s-k)} = e^(kt)·f(t)
Aplicado a este caso tenemos
f(t) = t
F(s) = 1/s²
k=1
F(s-k) = 1/(s-1)²
y con todos estos preliminares tendremos
y = L^-1(z) = L^-1{1/(s-1)²} = e^(1t)·t = t·e^t
Es más difícil explicarlo que hacerlo, la verdad es que cuando se sabe se hace todo en un paso sin pensarlo. Además no me extrañaría que en tus tablas tengas directamente escrita la fórmula
L^-1{1/(s+k)²} = t·e^(-kt)
En un libro que tengo yo la pone.
Y eso es todo.
