Anónimo
Requiero tu ayuda con este problema de calculo
La verdad se que eres una persona muy ocupada, pero estoy perdido con este problema:
Calcula el área de un paraboloide de revolución que sirve para hacer un concentrador solar que se utiliza de estufa solar.
Para modelar el problema y construir el paraboloide de forma geométrica necesitas tener una parábola, contar con su ecuación. Será importante contar con un paraboloide que tenga al menos 1 metro de diámetro.
Una superficie de revolución se genera al girar una curva alrededor de una recta. Para definir el área de esta superficie, intuitivamente podemos pensar en la capa exterior de la superficie y aplanarla.
La ecuación de la parábola es:
$$\begin{align}&y=\frac{x^2}{10}\end{align}$$Nuestro objetivo es encontrar el área de un paraboloide que tenga características óptimas para utilizarse en la construcción de una estufa solar. Es importante tener presente que la potencia solar se concentra en el foco del paraboloide.
Calcular el área del paraboloide es básico ya que se necesita conocer la relación existente entre el área del paraboloide y la potencia generada por la radiación directa que incide sobre la curva parabólica. La cantidad de energía que el plato del concentrador recibe por medio de los rayos del sol, se usa para realizar el cálculo de la cantidad de energía por área que se requiere para lograr la temperatura deseada.
El cálculo integral nos permite encontrar el área de una superficie de revolución o cascarón de revolución de la siguiente forma:
Sea f una función positiva, con derivada continua, al hacer girar la curva y= f(x) sobre el eje x, con a<=x<=b, se genera una superficie de revolución S, entonces el área superficial A de la superficie S está dada por la fórmula:
$$\begin{align}&a=\int_{a}^{b}2\pi f(x)\sqrt{1-f'(x)^2}dx\end{align}$$Cuando la curva se describe con la ecuación curva x = g(y) sobre el eje y, con c<=y<=d con g una función positiva con derivada continua se puede denotar como:
$$\begin{align}&A=\int_{a}^{b} 2\pi g(y)\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dy\end{align}$$Instrucciones:
1. En esta actividad calcularás el área del paraboloide generado por la ecuación:
$$\begin{align}&y=\frac{x^2}{10}\end{align}$$La parábola gira alrededor del eje y.
2. También harás los cálculos del área para la ecuación:
$$\begin{align}&x=\sqrt{\frac{y}{10}}\end{align}$$En este caso, la curva gira sobre el eje x.
3. Para resolver las dos integrales de los incisos anteriores necesitarás hacer una sustitución.
¿Será posible resolver la integral haciendo una sustitución trigonométrica, independientemente de si es o no, la más conveniente? ¿Qué conclusiones obtienes?
Nota: Este tipo de concentrador solar no es el más potente, además necesita irse orientando con el sol. Existe el concentrador solar de la óptica anidólica que no tiene esta característica, podría ser un proyecto a investigar para la aplicación del cálculo y para desarrollar una estufa más eficiente a futuro.
1 respuesta
La primera fórmula no está bien, el signo de dentro de la raíz cuadrada es un +
$$\begin{align}&A=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx\\ & \\ & f(x)=\frac{x^2}{10}\\ & \\ & f'(x) = \frac x5\\ & \\ & A=2\pi \int_a^b \frac{x^2}{10}\sqrt{1+\frac {x^2}{25}}dx=\\ & \\ & 2\pi\int_a^b \frac{x^2 \sqrt{25+x^2}}{10·5}dx=\\ & \\ & \frac{\pi}{25}\int_a^b x^2 \sqrt{25+x^2}dx\\ & \\ & x=5tg \varphi\\ & dx=5sec^2 \varphi d\varphi\\ & x=a\implies \varphi=arctg \frac a5\\ & x=b\implies \varphi=arctg \frac b5\\ & \\ & = \frac{\pi}{25}\int_{arctg \frac a5}^{arctg \frac b5}25tg^2\varphi·\sqrt{25+25tg^2\varphi}·5sec^2\varphi\;d\varphi=\\ & \\ & 25\pi \int_{arctg \frac a5}^{arctg \frac b5} tg^2\varphi \sec^3 \varphi\;d\varphi\\ & \\ & \end{align}$$Esa integral es bastante complicada para hacer a mano y escribirla aquí, si acaso podría darte los resultados.
Y lo que es norma es que se haga un solo ejercicio por pregunta salvo cuando son muy fáciles, que no es este el caso. Luego si quieres el del eje Y mándalo en otra pregunta. Y si hay algo que aclarar o darme algún dato complementeario de este dímelo.
Ok con los resultados estaría muy bien y gracias por las molestias, ahora para la otra función es necesario que escriba nuevamente todo el problema?
Aparte de que la integral es complicada el editor de ecuaciones que hay en esta página consume muchos recursos y cuando has escrito unas cuantas líneas ya empieza a ir muy lento muy lento hasta que se hace imposible escribir, por eso no se pueden hacer exposiciones muy largas.
Te propongo lo siguiente que además sirve para contestar el apartado 3.
Es posible resolverlo con una sustitución trigonométrica, tal como lo hemos hecho y si termináramos de hacerlo. Pero no es el cambio más conveniente.
Si me dejas hacerlo con un cambio hiperbólico puedo intentar resolver el problema completo. Confírmame si quieres que haga esto.
seria de gran ayuda, mil gracias!
Los anglosajones las llaman sinh(x) y cosh(x) yo las llamaré shx y chx. Supongo que las conoces, si no pregúntamelo en otra pregunta.
Una propiedad que tienen es
ch^2(x) - sh^2(x) = 1
Haremos lo mismo que antes hasta aquí y después sigo conlo nuevo
$$\begin{align}&\frac{\pi}{25}\int_a^b x^2 \sqrt{25+x^2}dx =\\ &\\ &x=5sht\\ &dx= 5cht\;dt\\ &x=a\implies t = argsh \frac a5\\ &\\ &x=b\implies t=argsh \frac b5\\ &\\ &\frac {\pi}{25}\int_{argsh \frac a5}^{argsh \frac b5} 25sh^2t \sqrt{25+25sh^2t}·5cht\;dt=\\ &\\ &\frac {\pi}{25}\int_{argsh \frac a5}^{argsh \frac b5} 625sh^2t \sqrt{1+sh^2t}·cht\;dt\\ &\\ &=25\pi\int_{argsh \frac a5}^{argsh \frac b5} sh^2t\;ch^2t\;dt =\\ &\\ &25\pi \int_{argsh \frac a5}^{argsh \frac b5} \frac{sh^2(2t)}{4}dt=\\ &\\ &\frac{25\pi}{4} \int_{argsh \frac a5}^{argsh \frac b5} \frac{ch(4t)-1}{2}dt=\\ &\\ &\frac{25\pi}{4} \left[\frac{sh(4t)}{8}-\frac t2 \right]_{argsh \frac a5}^{argsh \frac b5}\end{align}$$Y esto está especialmente preparado para resolver con calculadora cientifíca que tenga funciones hipércolicas e inversas. Sería un atraso ahora transformarlo en las equivalente exponeciales y logarítmicas, saldría una expresión intratable.
Luego lo mejor sería si me dieses los valores de a y b para probar, supongo que a será 0 pero del b no me has dicho nada.
¡Gracias!
Yo creo que este enunciado no está bien.
Si tu pones a girar la función y=x^2/10 respecto al eje X no se crea un paraboloide, se crea una especie de diábolo. Debes ponerla a girar respecto del eje Y, entonces sí que se crea un paraboloide.
Lo mismo pasa con la otra función, la x=sqrt(y/10) genera un paraboloide cuando gira alrededor del eje X.