Cuantas recta perpendiculares ahí a r:x-2/2=-y/2=1-z y que pasan por P(-2,0,3)
Me e quedado atascada y no se seguir tengo la ecuación del plano que es perpendicular a r y pasa por P
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Maria Montenegro!
Dada una recta cualquiera del espacio y un punto exterior determinan un plano perpendicular a esa recta. Entonces todas las rectas de ese plano son perpendiculares a la recta primera. Y en un plano hay infinitas rectas que pasan por un punto. Luego hay infinitas rectas.
Vamos a calcularlas.
La ecuación de la recta en forma normalizada es
(x-2) / 2 = y / (-2) = (z-1) / (-1)
Luego el vector de la recta es (2, -2, -1)
Los vectores perpendiculares los podemos obtener por combinación lineal de dos vectores perpendiculares.
Si tomamos un vector (u, v, 0) perpendicular será
2u - 2v -1·0 = 0
2u = 2v
u=v
Luego tomamos (1,1,0)
Y si tomamos uno perpendicular de la forma (u,0,w) será
2u + 0v - 1·w = 0
2u = w
puede ser (1,0,2)
Luego todos los vectores perpendiculares son
a(1,1,0) + b(1,0,2) = (a+b, a, 2b)
que podemos expresarlo de esta forma si hacemos estas asignaciones
a+b ---> a
a ---> b
de donde se deduce
a+b-a ---> a-b
b ---> a-b
2b ---> 2a-2b
(a, b, 2a-2b)
Las rectas perpendiculares que pasen por (-2, 0, 3) seran
(x-2) / a = y / b = (z-3) / (2a-2b)
para todo a, b € R con a o b distinto de 0
Nótese que que uno de los dos puede ser 0 ya que el vector no será el nulo. Es que la ecuación en forma continua no es buena, presenta estos problemas, sería mejor expresar las rectas en forma paramétrica
x = -2 + at
y = bt
z = 3 + (2a-2b)t
Para todo t € R y para todo a y b € R con uno de los dos al menos distinto de 0
Y eso es todo.
