Hola! ¿Podrías ayudarme con esta ecuacion diferencial? Te lo agradeceria mucho

Edith Zamora!

Primero hallamos la solución general de la ecuación homogénea

k^2 - 9 =0

(k+3)(k-3) = 0

Luego la solucion general de la homogénea es

ygh =  C1·e^{3x} + C2·e^{-3x}

Si ahora tomamos la ecuación completa necesitaremos aplicar el operador D^3 a la derecha para conseguir 0 ya que es un polinomio de grado 2. Aplicándolo en los dos lados será

D^3·(D+3)(D-3)y = 0

La solución general de esta homogénea es

C1·e^(3x) + C2·e^(-3x) + C3 + C4·x + C5·x^2

Como la general de la completa es la general de la homogénea más una particular de la completa vamos a extraer una particular de la completa de la forma

y=C3 + C4·x + C5·x^2

por el método de los coeficientes indeterminados

y' = C4·x + 2C5·x

y'' =  2C5

sustituimos en la ecuación completa

y'' - 9y = x^2-x+1

2C5 - 9C3 - 9C4·x - 9C5·x^2 = x^2-x+1

-9C5 = 1   ==> C5 = -1/9

-9C4 = -1  ==> C4 = 1/9

2C5 - 9C3 = 1    ==>   -2/9 - 9C3 = 1   ==>  -9C3= 11/9  ==> C3 = -11/81

Luego la solución general será

y = C1·e^{3x} + C2·e^{-3x} - 11/81 + x/9 - (x^2)/9

Para que cumpla esas condiciones iniciales debe ser

y(0) = 1

C1 + C2 -11/81 = 1  ==>  C1+ C2 = 92/81

y'(0) = 0

3C1 - 3C2 +1/9 = 0  ==>  C1 - C2 = -1/27

sumándolas

2C1 = 92/81 - 1/27 = 89/81

C1 = 89/162

C2 = 92/81 - 89/162 = (184 - 89) / 162 = 95/162

Luego la solución es

y = (89/162)e^(3x) + (95/162)e^(-3x) - 11/81 + x/9 - (x^2)/9

Y la gráfica de la ecuación la tienes aquí

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%2889%2F162%29e^%283x%29+%2B+%2895%2F162%29e^%28-3x%29+-+11%2F81+%2B+x%2F9+-+%28x^2%29%2F9

Espero que puedes pinchar y se vea, sino copia la línea larga en el navegador.