Hola ! ¿Podrías ayudarme con este ejercicio?

Edith Zamora!

La ecuación canónica de una circunferencia es

(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2

Donde (h, k) es el centro y r el radio

En este caso son circunferencias con centros de la forma (C, 5)

Además, por pasar por (0,0) el radio debe ser la distancia del centro de la circunfencia al punto (0,0) , luego r^2 = C^2+5^2 = 25+C^2

Asi, para cada valor de la constante C se genera la circunferencia

(x-C)^2 + (y-5)^2 = 25+C^2

x^2 - 2Cx + C^2 + y^2 -10y +25 = 25 + C^2

x^2 - 2Cx + y^2 - 10 y = 0

Despejamos 2C

$$\begin{align}&\frac{x^2+y^2-10y}x  = 2C\\ & \\ & \text{Y ahora hacemos derivación implícita en ambos lados}\\ & \\ & \\ & \frac{(2x+2yy'-10y')x-x^2-y^2+10y}{x^2}=0\\ & \\ & (2x+2yy'-10y')x-x^2-y^2+10y = 0\\ & \\ & 2x^2+y'(2xy-10x)=x^2+y^2-10y\\ & \\ & y'(2xy-10x)=-x^2+y^2-10y\\ & \\ & y' =\frac{-x^2+y^2-10y}{2xy-10x}\\ &\\ &\text {lo dejaremos con menos signos negativos}\\ &\\ & y' =\frac{x^2-y^2+10y}{10x-2xy}\\ &\\ & \end{align}$$

Y eso es todo.