Geometría Vectorial y Analitica

Sstiven Aguirre!

Calculemos el vector de las rectas, así sabremos si son paralelas o no

Vector AB = (-1,-1,3) - (1,0,2) = (-2, -1, 1)

Vector CD = (3,2,-1) - (2,-1,0) = (1, 1, -1)

No son proporcionales, luego ya sabemos que no son paralelas.

Veamos si se cortan, para ello formamos las ecuaciones paramétricas y las igualamos

Para L1 las ecuaciones paramétricas con el punto A como origen son

x=1-2t

y=-t

z=2+t

Y para L2 con C como punto origen

x=2+s

y=-1+s

z=-s

Si se cortan deben existir un t y un s que hagan iguales las 3 ecuaciones

1-2t = 2+s

-t = - 1 + s

2+t = -s

Si despejamos t en la segunda

t = 1 - s

y si lo despejamos en la tercera

t =-2 -s

Y no hay solución ya que

1-s = -2 -s

1=-2

Absurdo.

Luego las rectas no se cortan, simplemente se cruzan.

b) Esta pregunta no está muy bien formulada. No existe plano que contenga a las dos rectas a la vez, lo habría si hubieran sido paralelas o se hubieran cortado, pero al cruzarse no existe tal plano.

Si acaso podemos hallar un plano que contega a la primera y otro que contenga a la segunda.

Si un plano contiene una recta, entonces el vector director del plano es perpendicular a la recta, luego es perpendicular al vector director de la recta.

Por tanto calculemos un vector perpendicular al vector director de L1, para ello el producto escalar debe ser 0

(a,b,c)(-2,-1,1) = -2a-b+c= 0

Para hacerlo más fácil hagamos a=0

-b+c =0

b=c

Tomamos el vector (0,1,1) que cumple eso

Entonces la ecuación del plano será

1(y-yo) + 1(z-zo) = 0

donde (x0,yo,zo) es un punto de la recta, por ejemplo el punto A(1, 0, 2)

y-0 + (z-2)=0

y + z - 2 = 0

Y para el plano que contiene L2 calculamos un vector perpendicular al suyo.

(1,1,-1)(a,b,c) = a+b-c = 0

En este caso tomaré b=0 y será

a-c=0

a=c

luego el vector (1, 0, 1) sirve

1·(x-xo)+ 1(z-zo) = 0

Y como punto (xo,yo,zo) tomamos C(2,-1,0)

x - 2 + z - 0 =0

x + z - 2 = 0