Reglas de sustitución en integrales

En este caso vemos que delante de la raíz tenemos la diferencial de lo que hay dentro. Luego como cambio tomaremos el radicando, todo el radicando para que quede una raíz simple.

$$\begin{align}&\int u^2 \sqrt{u^3+2}\; du=\\ &\\ &t=u^3+2\\ &dt=3u^2 du  \implies u^2 du = \frac{dt}{3}\\ &\\ &=\int \sqrt t·\frac {dt}3=\frac 13\int t^{1/2}dt =\\ &\\ &\frac 13 \frac{t^{3/2}}{\frac 32}+C=\frac{2t^{3/2}}{9}+C =\\ &\\ &\frac{2 \sqrt{(u^3+2)^3}}{9}+C\end{align}$$

Y eso es todo.