Analizar si las sucesiones dadas son convergentes o divergentes: / Analizar si las series dadas son convergentes o divergentes

Son demasiados ejercicios no obvios, hay que mandar uno en cada pregunta.

La primera sucesión es divergente.

Por la fórmula de Styrling

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Stirling 

$$\begin{align}&ln\, n! \approx n·ln\,n-n  \quad cuando\; n\to \infty\\ &\\ &\lim_{n \to \infty} \frac{ln\, n!}{n}=\lim_{n \to \infty} \frac{n·ln\,n-n}{n}=\\ &\\ &\lim_{n \to \infty} ln\,n-1 = \infty\end{align}$$

La segunda no tiene el mismo limite en los pares que en los impares.

$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\frac{2n+(-1)^n(n+2)}{7n+3}=\\ &\\ &\text {dividiendo numerador y denominador entre n}\\ &\\ &\lim_{n\to\infty}\frac{2+(-1)^n\left(1+\frac 2n\right)}{7 + \frac 3n}=\lim_{n\to \infty}\frac{2+(-1)^n}{7}\end{align}$$

Y para cualquier n por grande que sea después de él sigue habiendo números pares e impares, en los impares tiende a 1/7 y en los pares a 3/7, lueog no hay convergencia.

La serie primera es divergente, la compararemos con la serie Sumatorio de 1/n (que es divergente) para ver que son equivalentes

$$\begin{align}&\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n+ln\,n}}{\frac 1n}= \lim_{n\to \infty} \frac{n}{n+ln\,n}=\\ &\\ &\text {dividimos numerador y denominador entre n}\\ &\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{ln\,n}{n}}=\\ &\\ &\text{n tiene orden superior que ln\n cuando }n\to\infty\\ &\\ &= \frac{1}{1+0}=1\end{align}$$

Como el límite del cociente es finito ambas series son equivalentes y convergen a divergen a la vez.  Y como 1/n diverge, también lo hace 1/(ln(n)+n)

La serie segunda no sé si tiene truco, el sumatorio es en x y la sucesión tiene el termino en función de n. Si pusiéramos el sumatorio con índice n nos enfrentaríamos a una serie diabólica. Si lo dejamos en x todo carece de sentido, dependería del valor único que tendría n, si n=0 sería convergente por ser una suma infinitas de ceros, si no no fuese cero la serie sería divergente.

Como te decía al principio son demasiados ejercicios para una pregunta, puntúa esta y distribuye los otros en varias.