sistema de base de datos

Hola, respuestas rapidas: 1: SI, 2: SI
Para la 2a pregunta, lo que tienes que hacer es dentro de la farmacia utilizar un ordenador como servidor (en este ordenador se instala Apache con PHP y MySQL, o utiliza un paquete como Wamp que te lo instala todo automaticamente), en este ordenador tambien haces las copias de seguridad de la base de datos.
Para que los PCs de la farmacia tengan acceso a la aplicación instalada en uno de ellos tienen que estar conectados en red y con poner en el explorador de cualquier PC la IP del que hace de sevidor ya te cargará la aplicación. ej: http://192.168.0.25 (suponiendo que la ip terminada en 25 es la del PC servidor)
 
un saludo

Ajax no es imprescindible, además es la combinación de javascript con llamadas asincronas (por ejemplo a un script en PHP)
Puede ser útil para pequeñas cosas (combos de selects, verificaciones antes de enviar un formulario grande), pero realizar una aplicación compleja utilizando mucho AJAX puede darte muchos problemas de cabeza, sobretodo con las funciones javascript que pueden generar error segun el navegador

PHP5 es la versión más reciente de PHP (Hasta que salga la 6)
Ademas de corregir fallos hay mejoras en temas como la POO (Programación Orientada a Objetos) y más. Desde la web oficial de PHP puedes obtener más información: http://es.php.net
Puedes instalarte el paquete wamp http://www.wampserver.com que te instala las ultimas versiones de Apache, PHP y MySQL. Bajas el exe que te lo instala y configura todo solo.
El programa correrá en una sóla máquina (servidor) y se podrá acceder desde todas las máquinas (a través de la IP)