Obtener tarjeta comunitaria

La tarjeta comunitaria es para ciudadanos de la Comunidad Europea. Puedes pedir la nacionalidad española por opción, por el lado de tu padre, si cumples los requisitos que se piden, o la puedes pedir por Arraigo, social o laboral, cualquiera sea tu caso. Si tienes más de tres años en España, (los debes ya tener, si has renovado por 2ª vez) pero demora alrededor de dos años el tramite.

Pero entonces no puedo solicitar la tarjeta comunitaria por medio de mi padre, que es nacionalizado español. Para la doble nacionalidad me piden requisitos que no puedo cumplir como un contrato de alquiler de piso, ya que yo vivo con mi padre por eso quisiera solicitar la comunitaria, pero. ¿Lo puedo hacer?

Si tu padre es nacionalizado (recién lo dices, antes dijiste que era español), no te puede trasmitir la nacionalidad. La ciudadanía por opción, no se trasmite de padres a hijos o viceversa.
Como ya te dije, la Tarjeta Comunitaria, es para ciudadanos de de la Comunidad Europea. A los demás, se les otorga un Permiso de Residencia y Trabajo y luego, la ciudadanía por opción.
El contrato de alquiler no se pide como obligatorio.

Mis papeles de la doble nacionalidad me la archivaron por no tener ese requisito, entonces que puedo hacer para que siga ese tramite sin el alquiler. Gracias

Insistir, el alquiler no es un requisito necesario. Ninguna esposa tiene el contrato a su nombre y sin embargo puede tramitar la nacionalidad. Lo que si necesitas, es que tu padre ponga en el empadronamiento, que vives allí.